11
Предмет: Теория Автоматического Управления
Тема:
ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Задачи синтеза оптимальных систем управления
Статистический синтез заключается в отыскании и реализации оптимальных в определенном смысле свойств (структуры и параметров) системы по заданным статистическим характеристикам входных воздействий.
Существуют различные методы статистической оптимизации. Рассмотрим задачу, сформулированную Винером-Колмогоровым.
Постановка задачи Винера-Колмогорова.
Дано: x (t) - полезный сигнал; z (t) - помеха; Kи (p) - оператор преобразования.
Рис. 1
Определить: оптимальную передаточную функцию - K0 (p).
Передаточная функция K0 (p) должна быть устойчивой и физически реализуемой. Если полезный сигнал - x (t) и помеха - z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем, в противном случае решение находится в классе нелинейных систем.
В зависимости от оператора Ки (р) рассматриваются следующие задачи:
Ки (р) = 1 - воспроизведения;
Ки (р) = 1/р - статистического интегрирования;
Ки (р) = р - статистического дифференцирования;
Ки (р) = - статистического упреждения, экстраполяции, прогнозирования.
Таким образом, задача Винера-Колмогорова решается при следующих предположениях:
Сигнал и помеха представляют собой Гауссовские процессы.
Искомая система должна принадлежать к классу линейных систем.
Критерий оптимальности - минимум средней квадратичной ошибки.
Решение: Определим выражение для средней квадратичной ошибки
Средняя квадратичная ошибка равна
Мы получили некоторый функционал, в котором неизвестно к (). Необходимо найти такое к (), при котором ошибка будет минимальной.
Это задача минимизации функционала: она решается с использованием вариационного анализа.
Пусть
;
где: - оптимальная функция веса;
- приращение.
Подставим это в исходное уравнение для ошибки и получим:
;
где А - функция, которая не зависит от а; В - функция, которая зависит от а; С - функция, которая зависит от а2.
Найдем экстремум по параметру а
к () -оптимально если а = 0 т.е. В = 0.
Откуда можно получить следующее выражение
(1)
Это интегральное уравнение Винера-Хопфа, оптимальная передаточная функция должна удовлетворять этому уравнению.
Решение уравнение Винера-Хопфа.
Строгое решение этого уравнения сложно, решим это уравнение простым путем предложенным Шенноном. Уравнению Винера-Хопфа в частотной области соответствует следующее выражение:
(2)
Откуда
(3)
Но это уравнение физически нереализуемо так как к0 () = 0 при < 0 т.е. K0 (j) содержит физически реализуемую и нереализуемую часть.
Для выделения физически реализуемой части воспользуемся свойством формирующего фильтра.
Используя операцию факторизации суммарную спектральную плотность сигнала и помехи можно представить в виде:
(4)
Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части
(5)
где [] + - реализуемая часть; [] - нереализуемая часть.
Определим
Отбросив нереализуемую часть, можно записать следующее выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости:
(6)
Это формула Винера-Колмогорова.
Примеры решений задач
Пример 1. Рассмотрим задачу фильтрации с воспроизведением. Определить оптимальную передаточную функцию - K0 (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис.2).
Дано: Полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.
Kи (p) = 1;
Рис. 2
Решение: Так как полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем.
Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид:
Так как сигнал и помеха некоррелированы и Kи (p) = 1, то выражение имеет вид:
Определим Кф (j)
Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части
При этом
Значения А и В найдем методом неопределенных коэффициентов
С учетом полученных выражений
При этом передаточная функция представляет аппериодическое звено
Где
Пример 2. Рассмотрим задачу фильтрации с дифференцированием. Определить оптимальную передаточную функцию - K0 (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис.3.
Дано: Полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.
Kи (p) = р;
Рис. 3
Решение: Так как полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем.
Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид:
Так как сигнал и помеха некоррелированны то выражение имеет вид:
Определим Кф (j)
где
Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части
Где
Значения А и В найдем методом неопределенных коэффициентов
С учетом полученных выражений
При этом передаточная функция представляет апериодическое звено
где
Литература
Гуляев В.И., Баженов В.А., Попов С.Л. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем, 1989.
Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения, 1985.
Светлицкий В.А., Стасенко И.В. Сборник задач по теории колебаний, 1973.
|
