Модели сетевого планирования и управления - лекция

Модели сетевого планирования и управления

1. Общая характеристика сетевого планирования и управления

Выполнение комплексных научных исследований, а также проектирование и строительство промышленных, сельскохозяйственных и транспортных объектов требуют календарной увязки большого числа взаимосвязанных работ, выполняемых различными организациями. Составление и анализ соответствующих календарных планов представляют собой весьма сложную задачу, при решении которой применяются так называемые методы сетевого планирования. По существу, этот метод дает возможность определить, во-первых, какие работы или операции из числа многих, составляющих проект, являются «критическими» по своему влиянию на общую календарную продолжительность проекта и, во-вторых, каким образом построить наилучший календарный план проведения всех работ по данному проекту с тем, чтобы выдержать заданные сроки при минимальных затратах.

Модели сетевого планирования и управления (модели СПУ) предназначены для планирования и управления сложными комплексами работ (проектами), направленными на достижение определенной цели в заданные сроки (строительство, разработка и производство сложных объектов и др.).

За рубежом система СПУ известна как система РЕRТ (Рrоgram Еvaluation and Review Тechnique - метод анализа и оценки программ) или СРМ (Critical Рath Мethod - метод критического пути).

Сетевой моделью (СМ) называется экономико-математическая модель, отражающая весь комплекс работ и событий, связанных с реализацией проекта в их логической и технологической последовательности и связи.

В СПУ применяются связные, ориентированные графы без циклов, имеющие одну начальную и одну конечную вершину.

Основные понятия сетевой модели: событие, работа, путь.

Работа характеризует любое действие, требующее затрат времени или ресурсов. Работами считаются и процессы, не требующие затрат времени и ресурсов, а устанавливающие зависимости выполнения работ. Такие работы называются фиктивными. Работа обозначается парой чисел (i,j) где i - номер события, являющимся начальным для данной работы, j - номер события, являющимся конечным для данной работы, в которое она входит. Работа не может начаться раньше, чем свершится событие, являющееся для нее начальным. Каждая работа имеет свою продолжительность t(i,j). Работы на графах обозначаются дугами (стрелками), фиктивные работы обозначаются пунктирными стрелками.

Событиями называются начало или завершение одной или нескольких работ. Они не имеют протяженности во времени. Событие совершается в тот момент, когда оканчивается последняя работа, входящая в него. На графе события изображаются кружками, внутри которых записывается номер события. В моделях СПУ имеется одно начальное событие (номер 0), одно конечное событие или завершающее (номер N) и промежуточные события (номер i). В графической интерпретации сетевой модели работы представляются дугами, а события - вершинами графа.

Путь - цепочка следующих друг за другом работ (дуг), соединяющих начальную и конечную его вершины. Полный путь L - путь, начало которого совпадает с начальным событием сети, а конец - с завершающим. Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ. Путь, имеющий максимальную продолжительность, называют критическим (обозначение L_кр). Продолжительность критического пути обозначается как t_кр_. Работы, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Их несвоевременное выполнение ведет к срыву сроков всего комплекса работ.

Сетевая модель должна удовлетворяет следующим требованиям:

Не должно быть событий с одинаковыми номерами.

Для каждой работы (i,j) должно выполняться i <j

Должны быть только одно начальное и одно конечное события.

Должны отсутствовать циклы, т.е. замкнутые пути, соединяющие событие с ним же самим.

При выполнении этих требований можно приступать к вычислениям числовых характеристик СМ. Исходные числовые данные СМ представляются в виде таблицы длительности выполнения каждой работы.

Характеристики элементов сетевой модели

При расчетах для сетевой модели определяются следующие характеристики ее элементов.

Характеристики событий

1. Ранний срок свершения события tp(0) = 0, tР(j) =тахi{tр(i) + t(ij)}, j=1--N характеризует самый ранний срок завершения всех путей, в него входящих. Этот показатель определяется «прямым ходом» по графу модели, начиная с начального события сети.

2. Поздний срок свершения события t_п(N) = t_р(N), t_п (i) = min_j {(t_п(j)-t(ij)}, i=1--(N-1) характеризует самый поздний срок, после которого остается ровно столько времени, сколько требуется для завершения всех путей, следующих за этим событием. Этот показатель определяется «обратным ходом» по графу модели, начиная с завершающего события сети.

3. Резерв времени события R(T) = t_п(i) - t_р(i) показывает, на какой максимальный срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ.

Резервы времени для событий на критическом пути равны нулю, R(i) = 0.

Характеристики работы (i,j)

Ранний срок начала работы: .

Ранний срок окончания работы:

Поздний срок начала работы:

Поздний срок окончания работы:

Резервы времени работ:

* полный резерв - максимальный запас времени, на который можно отсрочить начало или увеличить длительность работы без увеличения длительности критического пути. Работы на критическом пути не имеют полного резерва времени;

* частный резерв - часть полного резерва, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив позднего срока ее начального события;

свободный резерв - максимальный запас времени, на который можно задержать начало работы или (если она началась в ранний срок) увеличит ее продолжительность, не изменяя ранних сроков начала последующих работ;

независимый резерв - - запас времени, при котором все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие - начинаются в ранние сроки. Использование этого резерва не влияет на величину резервов времени других работ.

Замечания. Работы, лежащие на критическом пути, резервов времени не имеют. Если на критическом пути L_кр лежит начальное событие i работы (i,j), то R_п(i,j)=R_l(i,j). Если на L_кр лежит конечное событие j работы (i,j), то R_п(i,j)=R_c(i,j). Если на L_кр лежат и событие i, и событие j работы (i,j), а сама работа не принадлежит критическому пути, то R_п(i,j)=R_c(i,j)=R_п(i,j)

Характеристики путей

Продолжительность пути равна сумме продолжительностей составляющих ее работ.

Резерв времени пути равен разности между длинами критического пути и рассматриваемого пути.

Резерв времени пути показывает, на сколько может увеличиться продолжительность работ, составляющих данный путь, без изменения продолжительности срока выполнения всех работ.

В сетевой модели можно выделить так называемый критический путь. Критический путь L_кр состоит из работ (i,j), у которых полный резерв времени равен нулю R_п(i,j)=0, кроме этого, резерв времени R(i) всех событий i на критическом равен 0. Длина критического пути определяет величину наиболее длинного пути от начального до конечного события сети и равна . Заметим, что в проекте может быть несколько критических путей.

3. Коэффициент напряженности работ

Для оценки трудности своевременного выполнения работ служит коэффициент напряженности работ:

где t(L_тах(i,j)) - продолжительность максимального пути проходящего через работу (i,j);

t_кр - продолжительность отрезка пути L_тах(i,j), совпадающего с критическим путем.

Видно, что К_н(i,j) < 1. Чем ближе К_н(i,j) к 1, тем сложнее выполнить данную работу в установленный срок. Напряженность критических работ полагается равной 1. Все работы сетевой модели могут быть разделены на 3 группы: напряженные (К_н(i,j) > 0,8), надкритические (0,6 < К_н(i,j) < 0,8) и резервные (К_н(i,j) < 0,6).

В результате перераспределения ресурсов стараются максимально уменьшить общую продолжительность работ, что возможно при переводе всех работ в первую группу.

2. Анализ проектов. Метод CPM

Исходным шагом для применения метода CPM является описание проекта в виде перечня выполняемых работ с указанием их взаимосвязи. Для описания проекта используются два основных способа: табличный и графический. Рассмотрим следующую таблицу, описывающую проект.

В первом столбце указаны наименования всех работ проекта. Их четыре: A, B, C, D. Во втором столбце указаны работы, непосредственно предшествующие данной. У работ A и B нет предшествующих. Работе C непосредственно предшествует работа B. Это означает, что работа C может быть начата только после того, как завершится работа B. Работе D непосредственно предшествуют две работы: A и C. Это означает, что работа D может быть начата только после того, как завершатся работы A и C. В третьем столбце таблицы для каждой работы указано время ее выполнения. На основе этой таблицы может быть построено следующее графическое описание проекта.

Из приведенных выше определений и соотношений непосредственно следует:

1) Длина критического пути равна T.

2) Если R(i,j) = 0, то работа (i,j) лежит на критическом пути; если R(i,j)?0, то работа (i,j) не лежит на критическом пути.

3) Если время начала работы (i,j), которая не лежит на критическом пути, отложить на срок меньший, чем r(i,j), то наиболее раннее время наступления последующего события не изменится.

4) Если время начала работы (i,j), которая не лежит на критическом пути, отложить на срок меньший, чем R(i,j), то время, необходимое на выполнение всего проекта, не увеличится.

Контрольные вопросы.

1. Правила построения сетевых графиков.

2. Определение пути в сетевом графике, виды путей, важность определения критического пути.

3. Какова взаимосвязь полного и свободного резервов работы?

4. Как можно найти критических путь в сетевой модели, без непосредственного суммирования длительностей работ?

5. Чему равно наиболее раннее время наступления события?

6. Метод CPM разработан для ...

§ описания проектов, путем указания всех работ, предшествующих данной работе;

§ описания проектов, путем представления каждой работы в виде пары узлов сети;

§ минимизации издержек на сокращение продолжительности проекта;

§ нахождения критического пути для проектов с заданным временем выполнения каждой работы;

§ нахождения критического пути для проектов с неопределенным временем выполнения работ.

3. Варианты заданий по теме «Метод CPM»

Вариант 1

Экономический факультет МГУ разрабатывает новую программу повышения квалификации преподавателей количественных методов анализа экономики. Желательно, чтобы эту программу можно было реализовать в наиболее сжатые сроки. Существуют существенные взаимосвязи между дисциплинами, которые необходимо отразить, составляя расписание занятий по программе. Например, методы управления проектами должны рассматриваться лишь после того, как слушатели обсудят различные аспекты (коммерческие, финансовые, экономические, технические и т.д.) проектного анализа, связанные с жизненным циклом проекта. Дисциплины и их взаимосвязь указаны в следующей таблице.

Найдите:

§ минимальное время, за которое можно выполнить программу;

§ длину критического пути;

§ количество дисциплин находящихся на критическом пути;

§ резерв времени изучения дисциплины F.

Вариант 2

«Системы Управленческих Решений» (СУР) представляет собой консалтинговую компанию, специализирующуюся на разработке систем поддержки проектов. СУР заключила контракт на разработку компьютерной системы, предназначенной для помощи руководству фирмы при планировании капиталовложений. Руководитель проекта разработал следующий перечень работ и их непосредственных предшественников:

Постройте графическое представление проекта.

Найдите:

§ длину критического пути;

§ сколько работ находится на критическом пути;

§ резерв выполнения работы F.

Вариант 3

Рассмотрите следующую сеть проекта (продолжительность работ показана в неделях):

Найдите:

§ за какое минимальное время может быть выполнен проект;

§ сколько работ находится на критическом пути;

§ на сколько недель можно отложить выполнение работы D без отсрочки завершения проекта в целом;

§ на сколько недель можно отложить выполнение работы С без отсрочки завершения проекта в целом.

Вариант 4

Проект пусконаладки компьютерной системы состоит из восьми работ. Непосредственно предшествующие работы и продолжительность выполнения работ показаны ниже.

Найдите:

§ критический путь;

§ сколько времени потребуется для выполнения проекта;

§ сколько работ на критическом пути;

§ чему равно наиболее раннее время начала работы C;

§ на сколько можно отложить выполнение работы C без отсрочки завершения проекта в целом;

§ чему равно наиболее позднее время окончания работы F;

§ на сколько можно отложить выполнение работы F без отсрочки завершения проекта.

Вариант 5

Московский государственный университет рассматривает предложение о строительстве новой библиотеки. Работы, которые следует выполнить перед началом строительства, представлены ниже. Продолжительность работ показана в неделях.

Найдите:

§ критический путь;

§ сколько работ находится на критическом пути (фиктивные работы не учитываются);

§ через какое минимальное время после принятия решения о реализации проекта можно начать работу по строительству библиотеки;

§ на сколько недель можно отложить выбор архитектурной мастерской;

§ чему равно наиболее позднее время завершения работы по обеспечению финансирования.

4. Анализ проектов. Метод PERT

Для того, чтобы использовать метод PERT, для каждой работы i, время выполнения которой является случайной величиной, необходимо определить следующие три оценки:

Оптимистическое время - время выполнения работы i в наиболее благоприятных условиях.

Наиболее вероятное время - время выполнения работы i в нормальных условиях.

Пессимистическое время - время выполнения работы i в неблагоприятных условиях.

Учитывая, что время выполнения работы хорошо описывается бета - распределением, среднее или ожидаемое время t_i выполнения работы i может быть определено по формуле

Если время выполнения работы i известно точно и равно, то

Располагая указанными выше тремя оценками времени выполнения работы, мы можем также рассчитать общепринятую статистическую меру неопределенности - дисперсию или вариацию var_i времени выполнения работы i:

Если время выполнения работы i известно точно, то = var_i = 0.

Пусть Т - время, необходимое для выполнения проекта. Если в проекте есть работы с неопределенным временем выполнения, то время Т является случайной величиной. Математическое ожидание (ожидаемое значение) времени выполнения проекта Е(Т) равно сумме ожидаемых значений времени выполнения работ, лежащих на критическом пути. Для определения критического пути проекта может быть использован метод CPM. На этом этапе анализа проекта время выполнения работы полагается равным ожидаемому времени t_i. Вариация (дисперсия) общего времени, требуемого для завершения проекта, в предположении о независимости времен выполнения работ равна сумме вариаций работ критического пути. Если же две или более работы взаимозависимы, то указанная сумма дает приближенное представление о вариации времени завершения проекта.

Распределение времени T завершения проекта является ассимптотически нормальным со средним Е(Т) и дисперсией (T). С учетом этого можно рассчитать вероятность завершения проекта в установленный срок T0. Для определения вероятности того, что T?T0, следует использовать таблицу распределения величины z=(T0-E(T))/(T), которая имеет стандартное нормальное распределение.

Пример 1.

Конструкторское бюро Московского часового завода разработало новый настольный радиобудильник. По мнению проектировщиков, запуск в серию нового продукта позволит расширить рынок сбыта и получить дополнительную прибыль. Руководство МЧЗ приняло решение провести работу по изучению возможности реализации нового продукта. Конечным результатом этого исследования должен стать доклад с рекомендациями относительно действий, которые должны быть предприняты для организации производства и сбыта нового продукта. Перечень работ и характеристики времени их выполнения (в неделях) указаны в следующей таблице.

1. Определите критический путь для данного проекта.

2. Чему равно ожидаемое время выполнения проекта?

3. С какой вероятностью проект может быть выполнен за 20 недель.

На следующем рисунке показано графическое представление этого проекта.

Решение.

Используя информацию, указанную в таблице, определим ожидаемое время и вариацию времени выполнения каждой работы проекта. Например, для работы A:

t_A = (a_A + 4 m_A + b_A)/6 = (4 + 4 * 5 + 12)/6 = 6 ;

= var_A = ((b_A - a_A )/6 )² = ((12 - 4)/6)² = 1.78.

Проводя аналогичные расчеты для других работ, получаем следующую таблицу.

Полагая время выполнения работы равным ожидаемому времени ее выполнения t_i , находим критический путь, используя метод CPM.

Результаты расчетов представлены в следующей таблице.

Критический путь для данного проекта включает работы A, E, H, I, J. Длина критического пути равна 6 + 3 + 4 + 2 + 2 = 17. Это означает, что ожидаемое время выполнения проекта составляет 17 недель.

Предполагая, что распределение времени выполнения проекта является нормальным, мы можем определить вероятность того, что проект будет выполнен за 20 недель. Определим дисперсию времени выполнения проекта. Ее значение равно сумме значений дисперсий времен выполнения работ на критическом пути: ²(T)= 1.78+ 0.11 + 0.69 + 0.03 +0.11 = 2.72. Тогда, учитывая, что (T) = 1.65, находим значение z для нормального распределения при T0=20:

z = (T0-E(T))/ (T) = (20-17) /1.65 = 1.82.

Используя таблицу нормального распределения, находим вероятность того, что время T выполнения проекта находится в интервале E(T)??T??T0. На пересечении столбца «1.8» и строки «0.02» таблицы нормального распределения находим значение 0.4656. Следовательно, искомая вероятность того, что время T выполнения проекта находится в интервале 0???T?T0, т.е. вероятность того, что проект будет выполнен за 20 недель при ожидаемом времени его выполнения 17 недель, равна 0.5 + 0.4656 = 0.9656.

Контрольные вопросы.

1. Метод PERT разработан для:

а. описания проектов, путем указания всех работ, предшествующих данной работе

б. описания проектов, путем представления каждой работы в виде пары узлов сети

в. минимизации издержек на сокращение продолжительности проекта

г. нахождения критического пути для проектов с заданным временем выполнения каждой работы

д. нахождения критического пути для проектов с неопределенным временем выполнения работ

2. Объясните суть оптимизации сетевых моделей по критерию «Время - затраты».

3. Какими свойствами должна обладать работа, выбираемая на конкретном шаге для сокращения?

5. Варианты заданий по теме «Метод PERT»

Вариант 1

Ниже даны оценки продолжительности выполнения работ (в днях) применительно к небольшому проекту:

Рассчитайте ожидаемое время выполнения и дисперсию для каждой работы. Известно, что критический путь составляют работы B, D, F.

Найдите:

§ чему равно ожидаемое время выполнения работы B;

§ чему равна дисперсия времени выполнения работы D;

§ ожидаемое время выполнения проекта;

§ чему равна дисперсия времени выполнения проекта.

Вариант 2

Проект строительства плавательного бассейна состоит из девяти основных работ. Работы, их непосредственные предшественники и оценки времени выполнения работ в днях показаны ниже.

Постройте сеть для этого проекта.

Найдите:

§ каков ожидаемый срок завершения проекта;

§ чему равна стандартная ошибка (корень квадратный из дисперсии) времени завершения проекта;

§ какова вероятность того, что проект будет выполнен за 24 рабочих дня.

Вариант 3

Рассмотрите следующий проект (оценки времени выполнения работ указаны в неделях).