8

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

Контрольная работа по дисциплине

"ЭКОНОМЕТРИКА"

Брянск 2010

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.)

Требуется:

Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Проверить выполнение предпосылок МНК.

Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

Составить уравнения нелинейной регрессии:

· гиперболической;

· степенной;

· показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

РЕШЕНИЕ:

1). Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Таблица 1

Для вычисления параметров модели следует воспользоваться формулами и расчетными данными из таблицы 1.

Модель зависимости объема выпуска продукции от объема капиталовложений имеет вид

Рис. 1

С увеличением объемов капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 1,404 млн. руб.

2). Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

8

8

и т.д.

Таблица 2

Дисперсия остатков равна

8

Рис. 2

3). Проверить выполнение предпосылок МНК.

Проверка выполнения предпосылок МНК выполняется на основе анализа остаточной компоненты.

Оценим адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7--3,7).

Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач - М.: ВЗФЭИ. Вузовский учебник, 2004.

3.1. Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d - критерия Дарбина - Уотсона по формуле:

Используем данные табл. 3

Таблица 3

,

Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от d₂ до 2 (рис. 4.7). Свойство независимости выполняется. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Анализ независимости с помощью критерия Дарбина - Уотсона Рис. 3

3.2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) - 1, 96 - (16n-29)/90]

Количество поворотных точек равно 6 (рис. 4).

Рис. 4

Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

3.3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS - критерия:

, где

- максимальный уровень ряда остатков,

- минимальный уровень ряда остатков,

- среднеквадратическое отклонение,

,

Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

3.4. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.

В нашем случае , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

3.5. Обнаружение гетероскедастичности.

Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Гольфельда-Квандта, необходимо упорядочить имеющиеся наблюдения по мере возрастания, разделить совокупности на две группы, определить уравнения регрессии (с помощью Excel), определить остаточные суммы квадратов для регрессии, вычислить отношение между ними и сравнить с F- критерием.

8

Используя надстройки Excel, найдем F - критерий равный 6,389.

Наблюдаемое F = 4,203 меньше критического, что означает, что модель гомоскедастична.

В таблице 4 собраны данные анализа ряда остатков.

Анализ ряда остатков Таблица 4

4). Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t - критерия (t - статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

Где

8

Расчетная таблица

Таблица 5

8

Сравнивая расчетное значение с табличным значением (при n-2 и степеней свободы 0,05 табличное равно 2,306004). Делаем вывод о том, что фактор а₀ следует исключить из модели, так как расчетное значение t меньше табличного (при этом качество модели не ухудшится).

5). Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции), возведенный в квадрат (R²), называется коэффициентом детерминации.

Таблица 6 Расчет коэффициента детерминации

Чем ближе R² к 1, тем качество модели лучше.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,29 % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Для проверки значимости модели регрессии используется F - критерий Фишера, вычисляемый как отношение дисперсии исходного ряда и несмещенной дисперсии остаточной компоненты. Если расчетное значение больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

, где k - количество факторов, включенных в модель.

F > F_таб. =5, 32 для a = 0, 05; k₁ = 1, k₂ = 8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > F_таб.

Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:

, где

Таблица 7 Расчет относительной ошибки аппроксимации

В среднем расчетные значения предсказанного у для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,13 %.

Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.

6). Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Прогнозное значение Х = 79*80 % = 63,2

Прогнозируемое значение переменной у получается при подстановке в уравнение регрессии

ожидаемой величины фактора х.

Используя данные таблицы 2, найдем величину отклонения от линии регрессии.

Коэффициент Стьюдента для m = 8 степеней свободы (m = n-2) и уровня значимости равен 3,3554.

Таким образом, прогнозное значение будет находиться между верхней границей, равной 104,6588 + 21,8246 = 126,4834 и нижней границей, равной 104,6588 - 21,8246 = 82,8342.

Эластичность линейной модели равна

На 85,79% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении фактора X (объемом капиталовложений) на один процент.

Преобразуем график подбора (рис. 1), дополнив его данными прогноза.

Рис. 5

8). Составить уравнения нелинейной регрессии:

· гиперболической;

· степенной;

· показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

8.1. Составить уравнения нелинейной регрессии гиперболической.

Уравнение гиперболической функции

Произведем линеаризацию модели путем замены В результате получим линейное уравнение

Рассчитаем его параметры по данным таблицы 8.

Таблица 8

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 80,30% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F- критерий Фишера:

F > F_таб. =5, 32 для a = 0, 05; k₁ = 1, k₂ = 8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > F_таб.

Средняя относительная ошибка

В среднем расчетные значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 4,64%.

Эластичность гиперболической модели равна

На 71,42% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении фактора X (объемом капиталовложений) на один процент.

Рис. 6 Гиперболическая модель

8.2 Составить уравнения нелинейной регрессии степенной.

Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

Таблица 9 Логарифмирование

Обозначим

Тогда уравнение примет вид: линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 10.

Таблица 10

Перейдем к исходным переменным x и y:

Получим уравнение степенной модели регрессии:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной.

Коэффициент детерминации равен 0,8308:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,08% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F- критерий Фишера:

F > F_таб. =5, 32 для a = 0,05; k₁ = 1, k₂ = 8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > F_таб.

Средняя относительная ошибка

В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 4,25%.

Эластичность степенной модели равна

На 84,0% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении фактора X (объемом капиталовложений) на один процент.

Рис. 7 Сте ...........