2. Модели преобразований случайных процессов

2.1. Преобразование плотностей вероятностей

Пусть задана совместная плотность непрерывных случайных величин . Пусть также задана совокупность однозначных непрерывных функций переменных, определяющая связь значений случайных величин со значениями новых случайных величин ,так что

Необходимо определить совместную плотность .

Начнем с рассмотрения одномерного случая. Пусть имеется случайная величина с распределением . Задана функция , определяющая связь значений у новой случайной величины со значениями величины . При этом определяется как . Предположим, прежде всего, что связь и однозначная, то есть существует однозначная и непрерывная функция . Тогда:

где .

Иначе говоря,

,

где , .

Отсюда

Абсолютное значение производной связано с тем, что функции и не отрицательны.

Пусть теперь функция неоднозначна и имеет ветвей. Например,

В этом случае событию соответствует одно из событий

, ().

Таким образом,

где значения и соответствуют -той ветви.

2.2. Модели безынерционных преобразований случайных процессов

2.2.1. Линейное преобразование

Рассмотрим линейное устройство, усиливающее входной процесс в раз и добавляющее постоянную составляющую . Тогда

, ;

; ; ;

.

Пусть - нормальный случайный процесс, т.е.

.

Тогда

где ;

2.2.2. Кусочно-линейное преобразование

Пусть

,

В этом случае - смешанная случайная величина. Дискретная часть распределения, очевидно, равна

.

Непрерывная часть

;

, .

Таким образом,

, .

В частном случае гауссовской величины имеем:

.

Тогда

2.2.3. Двусторонний ограничитель

Дискретная часть распределения , очевидно, равна:

Непрерывная часть:

.

Тогда

В частном случае гауссовской величины с нулевым математическим ожиданием имеем:

Если при фиксировании устремить к нулю, что эквивалентно стремлению к бесконечности, характеристика ограничителя приобретает вид:

Тогда распределение случайной величины :

В частности, для гауссовской величины с нулевым математическим ожиданием имеем:

2.2.4. Двустороннее квадратичное преобразование

Имеем:

; ;

, .

В частности, для гауссовской величины с параметрами () имеем:

, ,

Где

.

В случае имеем:

,

2.2.5. Одностороннее квадратичное преобразование

Очевидно, имеем:

так что

, .

Для гауссовской величины с параметрами () имеем:

, .

В частности, при имеем:

, .

Часто встречается задача одностороннего квадратичного преобразования релеевской случайной величины. В этом случае:

, .

При этом:

,

2.2.6. Логарифмически нормальное распределение

Пусть имеется величина с нормальным () распределением, причем . Необходимо найти распределение величины . Имеем:

;

,

2.2.7. Одномерное распределение гармонического колебания со случайной начальной фазой

Пусть имеется случайный процесс , каждая реализация которого представляет собой гармоническое колебание с амплитудой , частотой и случайной начальной фазой :

где величина имеет распределение . Представим этот процесс в виде:

=,

где _ случайная величина с распределением . Поскольку обратное преобразование и , имеем:

, .

В общем случае распределение , а следовательно, и зависят от значения , т.е. процесс является нестационарным. Однако важным для практики случаем является ситуация, когда величина распределена равномерно в пределах , т.е.

, .

В этом случае, очевидно, при любом все значения также равновероятны:

, .

Итак, для любого момента времени имеем:

Обратная зависимость

т.е.

; .

Каждой области значений и соответствуют две ветви функции . Так, значению в области соответствуют два значения величины :

и .

Аналогично в области значению соответствуют значения

и .

Тогда:

Однако при всех значениях x имеем , так что

, .

При этом

, .

2.3. Функциональные преобразования двух случайных величин

Пусть известна . Необходимо найти , причем

.

При этом обратные преобразования в общем случае могут быть неоднозначными:

.

Вероятность того, что конец случайного вектора с проекциями находится в некоторой области равна вероятности того, что конец случайного вектора окажется в одной из областей вблизи точек с координатами соответственно , ,.., .

Вероятности нахождения конца вектора в соответствующих областях равны объемам изображенных ниже фигур.

При малых размерах элементов площади , имеем:

; .

Итак,

,

где , , соответствуют -той области на плоскости ,а якобиан преобразования :

Часто в практических приложениях достаточно определить .В частности, важным является нахождение распределений величин , , .

Решение этой задачи можно провести как рассмотрение частного случая

Пусть обратная функция однозначна. Тогда

Следовательно,

Тогда

Рассмотрим несколько важнейших частных случаев.

2.3.1. Распределение суммы случайных величин

Тогда

;

.

Итак, если

, то

.

Для статистически независимых и имеем:

2.3.2. Распределение разности случайных величин

Тогда

Итак, если , то

Для статистически независимых и имеем:

Пример. Распределение суммы двух статистически независимых величин с равномерным распределением.

Пусть , где

Имеем:

При этом должны выполняться условия

или

Рассмотрим три области значений величины y:

1. или

Область интегрирования:

2. или

Область интегрирования:

3. , т.е.

или

, т.е. .

При этом интеграл тождественно равен нулю. Тогда имеем:

Пусть, например, последовательно соединяются два резистора и , величина каждого из которых случайна в пределах .

Тогда наиболее вероятным значением будет ,а вероятность того, что , равна 0,5.

По мере увеличения количества суммируемых независимых величин с равномерным распределением вероятностей распределение их суммы быстро стремится к усеченному гауссовскому. Так, например, для случая А=0, В=1 имеем:

2.3.3. Распределение произведения случайных величин

Пусть

Тогда

.

Следовательно,

.

Итак, если , то

Для статистически независимых и соответственно имеем:

2.3.4. Распределение частного от деления двух случайных величин

Пусть

Тогда

,

Следовательно,

Итак, если

, то

Соответственно, для статистически независимых и :

Пример. Распределение произведения равномерно распределенных статистически независимых случайных величин:

; ,

.

Определим пределы интегрирования. Имеем:

, или .

Итак,

,

, .

Пример. Распределение частного от деления двух статистически независимых равномерно распределенных случайных величин:

; , ,

.

Определим пределы интегрирования:

, или .

Тогда, для имеем ,

для имеем .

Итак,

Пример. Распределение частного от деления статистически независимых нормальных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями:

; ;

_ распределение Коши.

2.3.5. Преобразование декартовых координат в полярные

Пусть , - случайные декартовые координаты некоторой точки (конца вектора) на плоскости. Задано распределение .Необходимо найти совместную плотность вероятностей значений случайных величин и вида

;

,

Будем далее значения величин обозначать соответственно (вместо ), как это обычно принято при переходе к полярным координатам. Обратное преобразование:

,

Якобиан преобразования

Тогда

Для статистически независимых имеем:

Заметим, что величины в последнем случае не являются статистически независимыми.

Для одномерных распределений модуля и фазы вектора в общем случае имеем:

.

Пример. Распределение модуля вектора с независимыми нормальными проекциями, имеющими равные дисперсии.

Пусть

Тогда совместное распределение равно:

.

Распределение величины :

Обозначим

; .

Тогда

,

Полученное распределение называется распределением Релея-Райса, или обобщенным релеевским.

В частном случае имеем , так что

,

Как будет показано в разделе3, распределение Релея-Райса характеризует одномерное распределение огибающей суммы детерминированного сигнала и нормального шума.

2.4. Математическое ожидание и дисперсия функции случайных величин

Пусть задана функция . Тогда, очевидно,

.

Однако часто оказывается удобным определять непосредственно из , не вычисляя . Представим интеграл в виде:

Итак,

.

В общем случае для функции :

Аналогично, в случае :

* .

В общем случае имеем:

.

Рассмотрим ряд важнейших частных случаев.

2.4.1. Математическое ожидание суммы и разности случайных величин

Пусть . Тогда

Вообще:

.

2.4.2. Математическое ожидание произведения случайных величин

Пусть теперь . Имеем:

,

где

- ковариация величин .

В случае некоррелированных величин ( не обязательно статистически независимых) имеем :

.

Вообще для попарно некоррелированных величин :

.

2.4.3 Дисперсия суммы и разности случайных величин

Рассмотрим дисперсию величины . Имеем:

Для некоррелированных получаем:

.

Вообще для попарно некоррелированных имеем:

.

2.4.4. Дисперсия произведения случайных величин

Рассмотрим дисперсию величины :

В частном случае статистически независимых имеем:

Преобразуя , можно получить и другую форму записи:

.

В случае, если величины не только статистически независимы, но имеют также нулевые математические ожидания,

.

2.5. Характеристическая функция случайной величины и ее применения

2.5.1 Определение характеристической функции

Рассмотрим функциональное преобразование вида

,

где - вещественная величина. Математическое ожидание называется характеристической функцией случайной величины :

.

Как видно из определения, является преобразованием Фурье плотности .

Следовательно, верно и обратное преобразование:

.

Заметим, что

.

Таким образом, существует для любой непрерывной случайной величины.

Аналогично, для дискретной случайной величины имеем:

,

Причем

.

Таким образом, характеристическая функция существует для любой случайной величины.

Заметим, что

.

Рассмотрим два примера.

Характеристическая функция нормальной случайной величины:

Заменим переменную интегрирования: . Имеем:

.

Интеграл в полученном выражении равен , так что

.

Характеристическая функция равномерно распределенной случайной величины:

=.

2.5.2 Вычисление моментов распределений

Рассмотрим производную -го порядка функции :

.

Отсюда следует формула:

Итак,

В частности,

,

,

.

2.5.3. Нахождение законов распределения функций случайных величин

Пусть . Тогда:

В случае имеем аналогично:

Обратным преобразованием Фурье получаем :

.

В частности, пусть , где - попарно статистически независимые случайные величины. Тогда

В случае, если распределения слагаемых одинаковы, имеем:

Пример 1. Распределение суммы n независимых нормальных величин с параметрами ().

Имеем:

Иначе говоря,

,

где , .

Итак, сумма любого числа независимых нормальных случайных величин также нормальна с параметрами .

Пример 2. Распределение суммы квадратов независимых одинаково распределенных нормальных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Рассмотрим распределение величины вида:

,

где

Можно показать, что в результате получаем :

- распределение с степенями свободы,

где _ гамма-функция В частности, а для целых имеем Тогда, например, в частных случаях имеем:

,

.