КУРСОВАЯ РАБОТА

На тему «Анализ рядов динамики»

Введение

Важнейшей задачей практической статистики, а также менеджеров разных уровней является построение и анализ рядов динамики.

Ряд динамики - это расположенные в хронологическом порядке значения того или иного показателя, изменение которого отражает ход развития изучаемого явления.

Ряд динамики (временной ряд, хронологический ряд) состоит из двух элементов: моменты или периоды времени (годы, кварталы, месяцы), к которым относятся статистические данные, и сами данные, называемые уровнями ряда. Общепринятое формальное представление динамического ряда:

где - уровень ряра, численное значение показателя в момент (период) времени t;

n - число уровней ряда.

Процесс развития социально-экономических явлений во времени заключается главным образом в том, что происходит изменение воздействия на них многих факторов социального, экономического, технического и другого порядка. Время, таким образом, становится собирательным фактором, вмещающим в себя многие факторы развития. Экономические явления, как и все другие явления общественной жизни, с течением времени изменяются под влиянием внутренних причин, но с внешней стороны это проявляется как результат воздействия времени.

Построение и анализ рядов динамики позволяют выявить закономерности развития явлений общественной жизни и его особенности.

Для выбора адекватной процедуры анализа конкретного динамического ряда необходимо знать их общую классификацию.

По времени, отражаемому в динамических рядах, они разделяются на моментные и интервальные.

В моментных рядах динамики уровни ряда выражают величины статистического показателя, зафиксированные на определенные даты. В них время обозначает момент, к которому относится каждый уровень ряда. Примером моментного ряда могут служить данные табл. 1.

Таблица 1. Численность постоянного населения г. Санкт-Петербурга (на начало года, тысяч человек)

Следует отметить, что уровни моментных рядов динамики суммировать не имеет смысла, т. к. результат суммирования содержательно не интерпретируется в силу наличия многократного повторного счета. Разность уровней моментного ряда динамики имеет определенный смысл, характеризуя изменение показателя за период между двумя смежными уровнями.

В интервальных рядах уровни ряда выражают размеры явления за определенный промежуток времени (сутки, неделю, месяц и т.д.). Отличительной особенностью интервальных рядов динамики абсолютных величин является возможность суммировать уровни следующих друг за другом периодов, поскольку их можно рассматривать как итог за более длительный период времени. Примером интервального ряда служат данные табл. 2. Каждый уровень этого ряда динамики отражает число человек, прибывших в город или выбывших из него за год.

В анализе динамических рядов наряду с табличной формой широко используются графические представления. Графики динамических рядов строят в прямоугольной системе координат, обычно располагая время (t) на оси абсцисс, а уровни ряда (y_t) - на оси ординат. Точки с координатами (y_t, t) соединяются отрезками прямых. Полученная ломаная дает наглядное представление о динамике исследуемого показателя.

Целью выполнения проекта является освоение методов анализа динамических рядов в системе STATISTICA. Выполнение курсового проекта предусматривает: оценку скорости и интенсивности изменения уровней изучаемого временного ряда, т.е. расчет абсолютных, относительных и средних показателей динамики; выявление основной тенденции ряда методами эмпирического и аналитического сглаживания; построение и оценку уравнения тренда; изучение автокорреляции и построение авторегрессионной модели; экстраполяцию на основе трендовой и авторегрессионной моделей; рассмотрение корреляционной зависимости временных рядов.

В табл. 2 представлена динамика экспорта и импорта Нидерландов в период с 1977 по 2000 гг., что послужило исходными данными для этой курсовой работы. В 1989 г. экспорт Нидерландов составил $107,854 млрд., в то время как импорт был в размере $104,253 млрд.

Графическое изображение (см. рис. 1 и 2) временных рядов позволяет наглядно представить основные закономерности развития изучаемого процесса.

Таблица 2. Динамика экспорта и импорта Нидерландов с 1977 по 2000 гг.

1. Анализ показателей изменения уровней временных рядов

Анализ динамических рядов социально-экономических явлений обычно начинают с рассмотрения статистик, расчет которых не требует какой-либо предварительной обработки анализируемого динамического ряда. Речь идет о так называемых показателях динамического ряда, позволяющих пояснить характер, скорость, интенсивность и направление развития изучаемого явления за определенный временной период.

В результате того или иного сопоставления уровней динамического ряда формируется система абсолютных и относительных показателей динамики, к числу которых относятся абсолютные приросты (и их среднее значение), ускорение, коэффициенты роста (и их среднее значение), коэффициенты прироста (и их среднее значение), абсолютное значение одного процента прироста. Сравниваемый уровень динамического ряда называется текущим, а уровень, с которым производится сравнение, базисным. В зависимости от того, что принимается за базу сравнения, будут получены различные показатели динамики. Приняв за базу сравнения некоторый постоянный уровень, например y₁ получим серию базисных показателей, которые характеризуют окончательный результат всех изменений в уровнях ряда от первого периода (или момента времени) до текущего периода. Следует иметь ввиду, что в реальных задачах за базу сравнения может быть принят уровень ряда, относящийся к периоду (моменту), выходящему за пределы анализируемого динамического ряда (например, начальный момент периода с которого начинается некоторый новый этап развития).

Если производится сравнение текущего уровня (y_t) с непосредственно предшествующим (y_t-1), то получаются цепные показатели динамики.

Абсолютным приростом называется разность между значениями уровней данного периода и предшествующего (либо базисного):

, (1.1)

где y_t - уровень ряда динамики в момент времени t;

y_t-1 - уровень ряда динамики в момент времени t-1;

_t - абсолютный прирост.

За весь период, описываемый временным рядом, абсолютный прирост () выразится как алгебраическая сумма частных цепных приростов (1.1) или, что очевидно, как разность между последним и первым уровнями:

, (1.2)

где y_n - последний уровень ряда;

у₁ - первый уровень.

Абсолютный прирост может быть как положительным, так и отрицательным. Он показывает, насколько уровень текущего периода выше или ниже предшествующего и выражает абсолютную скорость роста или снижения уровней ряда.

Абсолютные изменения уровней динамического ряда могут быть примерно одинаковы, т.е. выступать константой тенденции развития явления. Но если величина абсолютного прироста со временем возрастает, это означает, что уровни ряда изменяются с ускорением. Ускорение - это разность между последующим и предыдущим абсолютными приростами.

(1.3)

При расчете характеристики ускорения, сопоставляемые временные отрезки должны быть одинаковы, а показатель может быть рассчитан только на основе цепных абсолютных приростов.

Ускорение - это скорость изменения скорости (так называемые вторые разности). Отрицательное значение ускорения говорит о замедлении скорости роста уровней ряда или об ускорении скорости их снижения.

Темп роста (коэффициент роста) - это отношение последующего уровня к предыдущему или какому-либо другому, принятому за базу сравнения. Темп роста оценивает, во сколько раз уровень текущего периода выше или ниже уровня базисного периода, или сколько процентов он составляет по отношению к базисному. Таким образом, темп роста может быть представлен в виде коэффициента, когда определяется непосредственное отношение абсолютных размеров уровней, и в процентах к базисному уровню, принятому за 100%.

Темп роста в виде коэффициентов вычисляется по формулам:

 - цепные темпы роста; (1.4)

 - базисные темпы роста, (1.5)

где y_const - база сравнения;

 - темп роста за весь период. (1.6)

Величина темпа роста больше единицы показывает увеличение уровня текущего периода по сравнению с базисным. Величина темпа роста, равная единице, показывает, что уровень текущего периода по сравнению с базисным не изменился, меньше единицы - уменьшение уровня текущего периода. Темп роста всегда имеет положительный знак. Цепные темпы роста характеризуют интенсивность изменения уровней ряда.

Темп прироста - это отношение абсолютного прироста к базе сравнения, т.е.

, (1.7)

где _t - абсолютный прирост данного уровня;

y_t-1 - базисный уровень (уровень предыдущего периода);

T_np - темп прироста (в виде коэффициента).

Этот показатель характеризует относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени.

Темп прироста, выраженный в процентах, показывает на сколько процентов увеличился или уменьшился текущий уровень по сравнению с базисным, принятым за 100%, или, иначе, сколько процентов составляет абсолютный прирост данного уровня по отношению к базисному уровню.

Поскольку абсолютный прирост () за весь период равен у_п - у₁, то темп прироста за весь период составит:

, (1.8)

а есть темп роста за этот период. Тогда Т_пр=Т_р - 1, если темп роста и темп прироста выражаются в виде коэффициентов, и Т_пр(%)=Т_р(%) - 100, если они выражаются в процентах.

При темпах роста, меньше 100% или единицы (уменьшение уровней ряда), получаем отрицательные темпы прироста, т.е. темпы снижения.

Следующая статистическая характеристика динамики, основанная на измерении соотношений уровней, называется абсолютным значением одного процента прироста.

Абсолютное значение одного процента прироста показывает, какая абсолютная величина скрывается за относительным показателем - одним процентом прироста. Оно представляет собой отношение величины абсолютного прироста к темпу прироста, выраженному в процентах.

(1.9)

Следовательно, абсолютное значение одного процента прироста можно вычислить как 0,01 от базисного (предшествующего) уровня. Этот показатель имеет большое значение в экономическом анализе, поскольку темпы роста могут иметь тенденцию к уменьшению или оставаться на одном уровне, а абсолютное значение одного процента прироста расти.

Таблица 1.1. Показатели изменения объёмов экспорта Нидерландов с 1977 по 2000 гг.

Цепной абсолютный прирост в 1979 г. составил $15,9474 млрд., что означает, что в 1979 г. экспорт Нидерландов вырос по сравнению с 1978 г. на $15,9474 млрд. Базисный абсолютный прирост в 1979 г. составил $23,4276 млрд., т.е. с 1977 по 1989 гг. общий уровень экспорта вырос на $23,4276 млрд. Цепной коэффициент роста в 1979 г. равен 1,277, что говорит об увеличении экспорта в 1979 г. по сравнению с 1978 в 1,277 раз. Базисный коэффициент роста в 1979 г. равен 1,468, что означает увеличение объёма экспорта Нидерландов с 1977 по 1979 гг. в 1,468 раза.

Таблица 1.2. Показатели изменения объёмов импорта Нидерландов с 1977 по 2000 гг.

Цепной абсолютный прирост в 1979 г. составил $16,017 млрд., что означает, что в 1979 г. импорт Нидерландов вырос по сравнению с 1978 г. на $16,017 млрд. Базисный абсолютный прирост в 1979 г. составил $24,4279 млрд., т.е. с 1977 по 1989 гг. общий уровень импорта вырос на $24,4279 млрд. Цепной коэффициент роста в 1979 г. равен 1,261, что говорит об увеличении импорта в 1979 г. по сравнению с 1978 в 1,261 раз. Базисный коэффициент роста в 1979 г. равен 1,462, что означает увеличение объёма импорта Нидерландов с 1977 по 1979 гг. в 1,462 раза.

1.1 Средние показатели рядов динамики

Средние показатели необходимы для получения обобщающих оценок изменения уровней временного ряда. Часто использование средних показателей становится просто необходимым. Например, сельскохозяйственное производство в огромной степени зависит от погодных условий конкретного года, и сравнение годовых показателей становится нецелесообразным. Правильнее сравнивать среднегодовые уровни, среднегодовые абсолютные приросты и темпы роста, рассчитанные за несколько лет. При сравнительном анализе изменения тех или иных показателей по разным странам, регионам или, например, при сопоставлении темпов роста заработной платы и производительности труда также целесообразно использовать средние показатели рядов динамики.

Анализируя временные ряды, можно рассчитать средний уровень ряда, средний абсолютный прирост и средний темп роста (средний темп прироста определяется на основании темпа роста).

Средний уровень ряда рассчитывается по-разному для моментных и интервальных рядов динамики. Средний уровень интервального ряда вычисляется по формуле средней арифметической простой:

(1.10)

Если отдельные периоды интервального ряда динамики имеют неодинаковую длину, то для определения среднего уровня следует воспользоваться средней арифметической взвешенной. Для неполных интервальных рядов иногда определяют полусумму уровней на начало и конец периода и принимают ее за характеристику среднего уровня всего периода. Но этот средний уровень является грубой оценкой и применяется редко.

Средний уровень моментного ряда определяется по формуле, получившей название средней хронологической:

(1.11)

В знаменателе формулы - число уровней без единицы, поскольку в числителе первый и последний уровни берутся в половинном размере.

Для неполных моментных рядов динамики применяется взвешивание сумм каждой смежной пары уровней по продолжительности периода между ними, т.е.

, (1.12)

где t₁ - время (в соответствующих единицах) между моментом регистрации у₁ и моментом регистрации у₂;

t₂ - время между моментом регистрации y₂ и y₃ и т.д.

В знаменателе берется удвоенная сумма периодов, поскольку каждое слагаемое числителя суммируется два раза.

Обобщающим показателем скорости изменения явления во времени служит средний абсолютный прирост - среднее значение цепных абсолютных приростов за равные промежутки времени.

Если абсолютные приросты обозначить через ₁, ₂, ₃,…, то средний абсолютный прирост, обозначаемый через , может быть найден по формуле:

, (1.13)

где п - 1 - число цепных показателей абсолютного прироста за период.

Так как _t равна разности между последним и первым уровнями у_п - у₁, то средний абсолютный прирост можно найти по формуле:

(1.14)

При исчислении среднего темпа роста нужно учитывать, что интенсивность развития явлений идет по правилам сложных процентов, где накладывается прирост на прирост. Поэтому средний темп роста принято вычислять по формуле средней геометрической на основании цепных темпов роста.

Если через T_p1, T_p2, T_p3,…, Т_р обозначить цепные темпы роста за равные промежутки, то средний темп роста выразится формулой:

, (1.15)

где Т_р - средний темп роста;

n-1 - число темпов роста.

Поскольку цепной темп роста является отношением последующего уровня ряда к непосредственно предшествующему, так что ; ,…, в формуле средней геометрической подкоренное выражение преобразуется:

(1.16)

Следовательно, средний темп роста может быть представлен формулой:

, (1.17)

где п - число уровней;

у_п - уровень последнего года (периода);

у₁  уровень первого года (периода).

Формула средней геометрической взвешенной в общем виде будет иметь вид:

, (1.18)

где t - интервал времени, в течение которого сохранялся данный темп роста;

t - сумма отрезков времени.

При использовании логарифмов для вычисления средних темпов роста не надо забывать о том, что логарифмы величин, меньших единицы (но положительных), имеют отрицательную характеристику.

Для расчета средних темпов прироста пользуются уже известным соотношением: (в виде коэффициентов) и .

Интерпретация всех выше описанных показателей обязательно должна сопровождаться указанием временного отрезка, за который рассчитана характеристика, а также единицы времени, которая является его единицей измерения, например: среднегодовой абсолютный прирост численности населения за 20 лет; среднемесячный темп роста объема продаж за 10 лет и т.п.

С 1977 по 2000 года средний ежегодный объём экспорта Нидерландов составил $122,337 млрд. В среднем в этом периоде экспорт рос в 1,065 раза каждый год, что составило $7,099 млрд. в год.

С 1977 по 2000 года средний ежегодный объём импорта Нидерландов составил $115,686 млрд. В среднем в этом периоде экспорт рос в 1,059 раза каждый год, что составило $6,347 млрд. в год.

2. Трендовые модели и прогнозирование

Основная тенденция развития того или иного явления складывается под воздействием долговременно действующих внутренних и внешних причин и условий, благодаря которым, в основном, формируется величина уровня ряда. Одновременно с этим, уровни динамического ряда колеблются (отклоняются от основной тенденции) под воздействием краткосрочных случайных или систематически (циклически) действующих факторов. Чем сильнее их влияние, тем сложнее вскрыть основную закономерность развития объекта.

При анализе рядов динамики могут быть выделены четыре компоненты, формирующие уровни:

, (2.1)

где T - главная компонента, отражающая основную

тенденцию развития, так называемый тренд;

C - циклическая (конъюнктурная) компонента;

S - сезонная компонента;

- случайная компонента.

В зависимости от взаимосвязи выделяемых компонент модель временного ряда может быть аддитивная:

, (2.2)

либо мультипликативная:

(2.3)

Мультипликативная модель легко приводится к линейному виду путем логарифмирования.

Выделение и изучение отдельных компонент временного ряда называется декомпозицией ряда динамики. Изучение каждой компоненты предполагает использование специальных приемов и методов.

Все названные компоненты содержит далеко не любой динамический ряд. Чаще всего в практических исследованиях встречаются ряды, содержащие трендовую и случайную компоненты. Чтобы видеть влияние сезонной составляющей, нужно иметь ряд, уровни которого относятся к месяцам или кварталам. Проявление циклической компоненты, как правило, характерно для больших динамических рядов, что связано с экономическими (бизнес) циклами. Чем меньше влияние на уровни ряда нетрендовых компонент, тем проще выделить тренд - основную тенденцию изучаемого ряде, описание и прогнозирование которой является центральной задачей изучения временных рядов.

В работе для построения регрессионной модели были использованы линейная, параболическая и показательная функции. Выявлено, что все уравнения и практически все коэффициенты значимы (t-статистика больше 2), что отражено в табл. 2.1.

Таблица 2.1. Сравнение функций для уравнения регрессии

После того, как проанализированы различные виды трендов, необходимо выбрать наиболее точный, а именно тот, у которого значение t-статистики самое высокое. В данном случае для прогнозирования выбирается показательная функция. Необходимо проверить наличие автокорреляции в остатках.

Рис. 2.1. Автокорреляция остатков показательной модели экспорта Нидерландов с 1977 по 2000 гг.

Как видно, при лаге равном единице в остатках ряда присутствует значительная автокорреляция. Следовательно, существует неописанная данной функцией зависимость в изменении уровней ряда, и осуществлять прогноз на основе показательной функции нельзя. Аналогичная ситуация складывается и для остальных функций.

Следующим шагом проведения исследования является разбиение исследуемой совокупности на периоды с одинаковой тенденцией развития изучаемого процесса. Период выбирается на основе графического изображения изменения объёмов экспорта и импорта: выбирается последний временной отрезок, в течение которого наблюдалась общая тенденция увеличения объёмов показателя. Для экспорта и импорта началом такого периода является ...........