2
Павлодарский экономический колледж Казпотребсоюза
Цикл естественно-математических и информационных дисциплин
Тригонометрические функции
Составили преподаватели цикла ЕМиИД
Нургалиев А.З.
Султанбекова А.Е.
Павлодар 2009
Содержание
- Теоретические основы
-
- 1. Углы и их измерение
- 2. Тригонометрические функции острого угла
- 3. Основные свойства тригонометрических функций
- 3.1 Знаки тригонометрических функций
- 3.2 Четные и нечетные функции
- 3.3 Периодичность тригонометрических функций
- 3.4 График и свойства тригонометрических функции
- 4. Обратные тригонометрические функции
- 4.1 Уравнение cosx=a
- 4.2 Уравнение sinx=a
- 4.3 Уравнение tgx=a
- 5. Тригонометрические уравнения
- 5.1 Решение простейших тригонометрических уравнений
- 5.2 Решение тригонометрических уравнений с помощью формул
- 6. Простейшие тригонометрические неравенства
- 7. Основные формулы тригонометрии
- 7.1. Основные тождества и их следствия
- 7.2. Формулы понижения степени
- 7.3. Формулы сложения и вычитания аргументов
- 7.4. Формулы двойного аргумента
- 7.5. Формулы половинного аргумента
- 7.6. Формулы преобразования произведения в сумму
- 7.7. Формулы преобразования сумм в произведение
- 7.8. Формулы для решения уравнений
- 7.9. Формулы приведения
- Практические задания
- Практические задание №1
- Практические задание №2
- Практические задание №3
- Практические задание №4
- Практические задание №5
- Практические задание №6
- Практические задание №7
- Практические задание №8
- Практические задание №9
- Практическое занятие №10
- Литература
- Отзыв
- Приложения
Введение
В современных программах подготовки экономистов, финансистов и т.д. курс математики уверено занял одно из ключевых мест. В частности тригонометрия как один из разделов математики находит широкое практическое применение.
Данное учебное пособие предназначено для учащихся 1 курса обучающихся по следующим специальностям: "Финансы", "Экономика, бухгалтерский учет и аудит", "Маркетинг", "Правоведение"
Целью данного учебного пособия является:
формирование у учащихся практических навыков решения тригонометрических задач;
освоение учащимися анализа графических данных при определении свойств тригонометрических функций;
обучение учащихся техникой расчетов и применение полученных знаний на практике.
Перед решение задач необходимо проработать теоретический материал, рекомендованный по теме. Решение задач необходимо записывать подробно, со всеми необходимыми пояснениями.
Выбор задания.
Порядок и перечень практических заданий который должен выполнить учащийся на практических занятиях определяется по приведенной таблице:
|
|
Спец.
|
"Финансы"
|
"Экономика, бух. учет и аудит"
|
"Маркетинг"
|
"Правоведение"
|
|
|
№
|
|
|
1, 2, 3, 7, 8, 6, 9, 10
|
1, 2, 4, 5, 8, 6, 9, 10
|
|
|
Номер выполняемого варианта, сроки выполнения и оценку проделанной работы определяет преподаватель.
Теоретические основы
1. Углы и их измерение
Определение 1.1 Угол - это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки, вершины угла.
В качестве единицы измерения углов принят градус - 1/180 часть развернутого угла.
Зафиксируем не только вершину угла, но и один из образующих его лучей. Поместим вершину угла в начало координат, а одну сторону направим по оси ОХ.
Проведем окружность с центром в О (рис.1). Радиус ОА называется начальным радиусом.
Если повернуть начальный радиус против часовой стрелки, то угол поворота - положительный; если повернуть по часовой стрелке, то угол поворота - отрицательный.
На рис.1 начальный радиус перешел в ОВ, угол поворота положительный и равен 45°, и начальный радиус перешел в ОС - угол поворота отрицательный и равен (-45°).
Наряду с градусной мерой угла употребляется радианная мера угла.
Из геометрии известна следующая теорема.
Теорема 2.1 Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т.е. одно и то же для любых окружностей. Отношение длины окружности (l) к диаметру (2R) принято обозначать греческой буквой р:
Число р - иррациональное. Приближенное значение р ? 3,1416. Длина окружности вычисляется по формуле: l=2рR.
Определение 2.2 Центральным углом в окружности называется плоский угол с. вершиной в ее центре.
Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис.2)
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
Развернутому углу (прямой) соответствует длина полуокружности рR. Углу в 1° соответствует дуга рR/180°, углу в n° соответствует дуга рRn/180°.
Определение 2.3 Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности, т.е.
Радианная мера угла получается из градусной умножением на р/180° В частности, радианная мера угла 180° равна р.
2. Тригонометрические функции острого угла
Решение всяких треугольников в конечном счете сводится к решению прямоугольных треугольников. В прямоугольном треугольнике отношение двух сторон не зависит от длин, а полностью зависит от величины одного из углов.
Теорема: Отношение сторон прямоугольного треугольника зависит только от градусной меры угла.
Отношения различных пар сторон в прямоугольном треугольнике называются тригонометрическими функциями его острого угла (рис.3).
2
1. Синус угла А - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, т.е.
2. Косинус угла А - это отношение прилежащего катета к гипотенузе, т.е.
3. Тангенс угла А - это отношение противолежащего катета к прилежащему, т.е.
4. Котангенс угла А - это отношение прилежащего катета к противолежащему, т.е.
По отношению к углу В названия меняются:
3. Основные свойства тригонометрических функций
3.1 Знаки тригонометрических функций
Из определения тригонометрических функций следует, что их знаки в четвертях будут следующими:
Пример. Определите знак разности: sin350°-sin345°.
Решение:
значения 350° и 345° находятся в IV четверти, а там большему значению угла соответствует большее значение синуса, те sin 350° > sin 345° => sin 350° - sin 345° > 0;
3.2 Четные и нечетные функции
Определение 3.1 Функция f называется четной, если для любого х из области определения f значение (-х) также входит в область определения и выполняется равенство f (-х) =f (х).
Определение 3.2 Функция f называется нечетной, если для любого х из области определения и (-х) входит в область определения, причем выполняется равенство f (-х) =-f (х).
Теорема 3.1:. Косинус - четная функция, а синус, тангенс и котангенс - нечетные функции.
3.3 Периодичность тригонометрических функций
Определение 3.4.: Функция f называется периодической, если существует такое число Т ? 0, что при любом х из области определения f число (х + Т) также принадлежит этой области и при этом выполняется равенство f (x) =f (x+T). Число Т называется периодом функции f.
Теорема 3.2 Функции синус, косинус, тангенс, котангенс являются периодическими.
Теорема 3.3 Основным периодом для функций синуса и косинуса является число Т=2р.
Теорема 3.4 Основным периодом для тангенса и котангенса является число Т=р.
3.4 График и свойства тригонометрических функции
3.4.1 Функции
2
|
|
Основные свойства функции
|
|
|
Свойства функции
|
Свойства функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Во всех следующих свойствах считаем, что
|
|
|
- возрастает на
|
- возрастает на
|
|
|
- убывает на
|
- убывает на
|
|
|
y=1,
|
y=1+m,
|
|
|
y=-1,
|
y=-1+m,
|
|
|
3.4.2 Функция .
2
|
|
Основные свойства функции
|
|
|
Свойства функции
|
Свойства функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Во всех следующих свойствах считаем, что
|
|
|
- возрастает на
|
- возрастает на
|
|
|
- убывает на
|
- убывает на
|
|
|
y=1,
|
y=1+m,
|
|
|
y=-1,
|
y=-1+m,
|
|
|
3.4.3 Функция y=tgx.
График и свойства функции y=tgx.
|
|
Основные свойства функции
|
|
|
Свойства функции y=f (x) =tgx
|
Свойства функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Во всех следующих свойствах считаем, что
|
|
|
- возрастает на
|
- возрастает на
|
|
|
- не убывает
|
--не убывает
|
|
|
4. Обратные тригонометрические функции
4.1 Уравнение cosx=a
Арккосинусом числа называется такое число , косинус которого равен а: , если и .
Все корни уравнения cosx=a можно находить по формуле: .
4.2 Уравнение sinx=a
Арксинусом числа называется такое число , синус которого равен а: , если и .
Все корни уравнения можно находить по формуле: .
4.3 Уравнение tgx=a
Арктангенсом числа называется такое число , синус которого равен а: , если и .
Все корни уравнения можно находить по формуле: .
5. Тригонометрические уравнения
5.1 Решение простейших тригонометрических уравнений
Фактически решение тригонометрических уравнений сводится к решению простейших тригонометрических уравнений вида: cosx=a, sinx=a, tgx=a.
Пример. Решить уравнение .
По формуле находим
.
5.2 Решение тригонометрических уравнений с помощью формул
Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений.
Пример.
1) Уравнения, сводящиеся к квадратным.
Это уравнение является квадратным относительно cosx. Введем замену переменных cosx=k, тогда получим уравнение: . Его корни , . Таким образом решение сводится к решению двух уравнений:
cosx=1 имеет корни ,
cosx=-2 не имеет корней.
2) Уравнения допускающие понижение степени.
.
Выразим через cos2x.
,
5.3 Решение тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители
Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.
Пример.
|
|
1) sin2x+cosx=0
2sinxcosx+cosx=0
cosx (2sinx+1) =0
cosx=0
,
или sinx=1/2
|
2) cos3x+sin5x=0
=0
,
.
|
|
|
6. Простейшие тригонометрические неравенства
Чтобы решить тригонометрическое неравенство вида , нужно выяснить, какие точки единичной окружности имеет абсциссу a. Абсциссу, равную a, имеют две точки. Тогда ответом является угол поворота радиуса между этими двумя точками.
Для решения тригонометрических неравенств можно воспользоваться ниже приведенными таблицами №1,2.
Таблица №1
|
|
Неравенства
|
б
|
Ответ:
|
|
|
|
На окружности
|
В виде неравенства
|
|
|
(>)
|
б=arcsin (a)
|
2
|
|
б?t?р-б
б+2рn?t?р-б+2рn
(б<t<р-б
б+2рn<t<р-б+2рn)
|
|
|
(>)
|
б=arccos (a)
|
|
|
|
|
(<)
|
б=arcsin (a)
|
2
|
|
-р-б?t?б
р-б+2рn?t?б+2рn
(-р-б<t<б
р-б+2рn<t<б+2рn)
|
|
|
(<)
|
б=arccos (a)
|
|
|
|
|
Примеры.
|
|
1) sint?-1/2
б=arcsin (-1/2) = - arcsin (1/2) =-р/6
р/6?t?р- (-р/6)
р/6?t?р+р/6
р/6?t?7р/6
р/6+2рn?t?7р/6+2рn
|
2) sint?/2
б=arcsin (/2) =-р/3
р-р/3?t?р/3
4р/3?t?р/3
4р/3+2рn ?t?р/3+2рn
|
|
|
Таблица №2
|
|
Неравенства
|
б
|
Ответ (в виде неравенства):
|
|
|
|
Если б<0
|
Если б>0
|
|
|
(>)
|
б=arctg (a)
|
б?t?р/2
б+рn?t?р/2+рn
(б<t<р/2
б+рn<t<р/2+рn)
|
-р/2?t?б
р/2+рn?t?б+рn
(-р/2<t<б
р/2+рn<t<б+рn)
|
|
|
(>)
|
б=arcctg (a)
|
|
|
|
|
(<)
|
б=arctg (a)
|
-р/2?t?б
р/2+рn?t?б+рn
(-р/2<t<б
р/2+рn<t<б+рn)
|
б?t?р/2
б+рn?t?р/2+рn
(б<t<р/2
б+рn<t<р/2+рn)
|
|
|
(<)
|
б=arcctg (a)
|
|
|
|
|
Примеры.
|
|
1) tgt?1
б=arctg (1) =р/4
р/4?t?р/2
р/4+рn?t?р/2+рn
|
2) ctgt>
б=arcctg () =р/3
р/3<t<р/2
р/3+рn <t<р/2+рn
|
|
|
7. Основные формулы тригонометрии
7.1. Основные тождества и их следствия
|
|
1
|
cos2б+sin2б=1
|
5
|
|
|
|
2
|
|
6
|
Tgбctgб=1
|
|
|
3
|
|
7
|
|
|
|
4
|
|
8
|
|
|
|
7.2. Формулы понижения степени
|
|
9
|
cos2б =2cos2б - 1
|
10
|
cos2б =1-2sin2б
|
|
|
7.3. Формулы сложения и вычитания аргументов
|
|
11
|
sin (б+в) =sinбcosв+cosбsinв
|
15
|
|
|
|
12
|
sin (б-в) =sinбcosв-cosбsinв
|
16
|
|
|
|
13
|
cos (б-в) =cosбcosв+sinбsinв
|
17
|
|
|
|
14
|
cos (б+в) =cosбcosв-sinбsinв
|
18
|
|
|
|
7.4. Формулы двойного аргумента
|
|
19
|
sin2б=2sinбcosб
|
21
|
|
|
|
20
|
cos2б=cos2б-sin2б
|
22
|
|
|
|
7.5. Формулы половинного аргумента
7.6. Формулы преобразования произведения в сумму
7.7. Формулы преобразования сумм в произведение
7.8. Формулы для решения уравнений
|
|
55
|
sinx=a,--x=--(-1)--narcsina+pn,--nОZ--(|a|Ј1);--
|
|
|
56
|
cosx=a,--x=±arccosa+2pn,--nОZ--(|a|Ј1);--
|
|
|
57
|
tgx=a,--x=arctga+pn,--nОZ--(aОR);--
|
|
|
58
|
ctgx=a,--x=arcctga+pn,--nОZ--(aОR);--
|
|
|
7.9. Формулы приведения
Эти формулы дают возможность:
1) находить значения тригонометрических функций любых углов, используя лишь значения углов, не превышающих 90°;
2) совершать преобразования, упрощающие вид формул. Они верны для любого угла б, условно считая его острым.
Контрольные вопросы:
1) Какие единицы измерения углов вы знаете?
2) Какие параметры определяют радианную меру?
3) Отношением каких сторон прямоугольного треугольника определяются тригонометрические выражения?
4) Какие функции называют периодическими?
5) Назовите периоды функций для тригонометрических функций.
6) Перечислите свойства необходимые для определения при исследовании тригонометрических функций.
7) Назовите область определения и область значений тригонометрических функций.
8) Определите равенство, при котором выполняется условие четности (нечетности) функции.
Практические задания
Практические задание №1
Тема: Преобразование графиков тригонометрических функций.
Цель: закрепить методику построения графиков тригонометрических функции, правила преобразования графиков.
|
|
Вариант №1
|
Вариант №2
|
|
|
1. Постройте график функции ;
2. Укажите промежутки возрастания и убывания функции;
3. Определите нули функции.
|
1. Постройте график функции ;
2. Укажите промежутки возрастания и убывания функции;
3. Определите нули функции.
|
|
|
Вариант №3
|
Вариант №4
|
|
|
1. Постройте график функции ;
2. Укажите промежутки возрастания и убывания функции;
3. Определите нули функции.
|
1. Постройте график функции ;
2. Укажите промежутки возрастания и убывания функции;
3. Определите нули функции.
|
|
|
Практические задание №2
Тема: Исследование тригонометрических функций и построение их графиков
Цель: Изучение свойств тригонометрических функций. Отработать методику построения тригонометрических функций.
|
|
Вариант №1
|
Вариант №2
|
|
|
1. Постройте график функции. По графику найдите: ; ; участки возрастания и убывания функции; наибольшее и наименьшее значение.
|
|
|
1)
2)
|
1)
2)
|
|
|
2. Известно, что . Найдите .
|
2. Известно, что . Найдите .
|
|
|
3. Известно, что . Найдите .
|
3. Известно, что . Найдите .
|
|
|
4. Решите графически уравнение
|
|
|
1) ;
2)
|
1) ;
2)
|
|
|
Практические задание №3
Тема: Преобразование тригонометрических выражений
Цель: Научить применять основные тригонометрические формулы при преобразовании тригонометрических выражений.
|
|
Вариант №1
|
|
|
Упростить выражения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант №2
|
|
|
Упростить выражения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практические задание №4
Тема: Обратные тригонометрические функции.
Цель: Выработать прочные навки примененния изученных формул при решении тригонометрических уравнений.
Уровень А.
|
|
Вариант 1
|
Вариант 2
|
|
|
Вычислите:
|
|
|
1.
2.
3.
4.
5.
|
1.
2.
3.
4.
5.
|
|
|
Вычислите:
|
|
|
;
;
|
;
;
|
|
|
Решить уравнения
|
|
|
1) ;
2)
|
1) ;
2)
|
|
|
Уровень Б.
Найти область определения функций:
Практические задание №5
Тема: Решение простейших тригонометрических уравнений
Цель: Выработать у учащихся навыки решения более сложных тригонометрических уравнений, выделив общую идею решения.
|
|
Вариант 1
|
1. Вычислите:
1) ;
2) ;
3) .
2. Решить уравнение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
|
|
|
Вариант 2
|
1. Вычислите:
1) ;
2) ;
3) .
2. Решить уравнение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
|
|
|
Вариант 3
|
1. Вычислите:
1) ;
2) ;
3) .
2. Решить уравнение:
1) ;
2) ;
3) .
|
|
|
Вариант 4
|
1. Вычислите:
1) ;
2) ;
3) .
2. Решить уравнение:
1) ;
2) ;
3) .
|
|
|
Практические задание №6
Тема: Решение тригонометрических уравнений
Цель: Выработать навыки примененния изученных формул при решение уравнений.
|
|
Вариант 1
|
Вариант 2
|
|
|
Решить уравнения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1
|
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
5) ;
6) ;
7) ;
8)
|
|
|
Вариант 2
|
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
5) ;
6) ;
7) ;
8)
|
|
|
Практические задание №7
Тема: Решение тригонометрических уравнений с помощью формул.
Цель: Выработать прочные навыки примененния изученных формул.
Решите уравнения методом сведения к квадратному уравнению
|
|
Вариант 1.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
|
Вариант 2.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
|
|
|
Практические задание №8
Тема: Решение тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители.
Цель: Выработать прочные навыки примененния изученных формул при разложении тригонометрических выражений на множители для решения тригонометрических уравнений.
Решите уравнения методом разложения на множители.
|
|
Вариант 1.
1)
2)
3)
4)
|
Вариант 2.
1)
2)
3)
4)
|
|
|
Практические задание №9
Тема: Решение тригонометрических неравенств.
Цель: Выработать прочные навыки примененния изученных формул при решении тригонометрических неравенств.
|
|
Вариант 1
|
Вариант 2
|
|
|
Решите неравенство:
1) ;
2) ;
3) ;
4)
|
Решите неравенство:
1) tgx<-1;
2) ;
3) ;
4) .
|
|
|
Практическое занятие №10
Тема: Решение систем уравнений.
Цель: Отработать различенные методы решения систем неравенств, содержащих тригонометрические уравнения.
Решите систему уравнений.
Контрольный срез.
I - вариант
|
|
1. Укажите четные функции.
А) cosx B) sinx C) tgx D) ctgx E) sinx, cosx
|
|
|
2. Единицами измерения угла являются …
А) радиус B) сантиметр C) радиус и радиан
D) градус и радиан E) радиус и радиан
|
|
|
3. Четная функция симметрична относительно:
А) оси Ох B) оси Оу C) асимптоты функции D) диогонали координатной плоскости E) четная функция не симметрична
|
|
|
4. Синус угла - это отношение …
А) противолежащего катета к гипотенузе
В) прилежащего катета к гипотенузе
С) противолежащего катета к прилежащему
D) прилежащего катета к противолежащему
E) сумма катетов к квадрату гипотенузы
|
|
|
5) Определите область значений для y=sinx.
А) В) С)
D) Е)
|
|
|
6. Вычислите: - +
A) B) - C) - D) 0,5 + E) 2
|
|
|
7. Вычислите: + +
A) 1 B) - 1 C) - 2 D) - 1 E) + 1
|
|
|
8. Вычислите: + +
A) 0 B) - 1 C) 1 + D) - 1 E) 1
|
|
|
9. Упростите выражение .
A) - B) - C) D) E)
|
|
|
10. Укажите наименьшее значение функции на промежутке .
A) - 1/2 B) - 1 C) 0 D) - E) -
|
|
|
11. Найти множество значений функции
A) [3; 5] B) [4; 5] C) [2; 5] D) [-1; 5] E) [1; 5]
|
|
|
12. Укажите период функции:
A) B) ?????C) D) ?????E) правильного ответа нет
|
|
|
13. Решите уравнение
A) 8 B) 4 C) 2 D) 16 E) 1
|
|
|
14. Какая из нижеследующих функций имеет наименьший положительный период?
A) B) C) D) E)
|
|
|
15. Какая из следующих функций нечетная?
A) B)
C) D) E)
|
|
|
16. Решите уравнение:
A) B)
C) D)
E)
|
|
|
17. Решите уравнение:
A) B)
C) D)
E)
|
|
|
II - вариант
|
|
1. Укажите нечетные функции.
А) cosx B) tgx, cosx C) tgx, sinx D) ctgx, cosx E) sinx, cosx
|
|
|
2. Радианной мерой утла называется отношение:
А) B) C) D) E)
|
|
|
3. Назовите период для функций cosx, sinx.
A) р B) 3р C) р/2 D) р/3 E) 2р
|
|
|
4. Косинус угла - это отношение …
А) противолежащего катета к гипотенузе
В) прилежащего катета к гипотенузе
С) противолежащего катета к прилежащему
D) прилежащего катета к противолежащему
E) сумма катетов к квадрату гипотенузы
|
|
|
5) Определите область значений для y=cosx.
А) В) С)
D) Е)
|
|
|
6. Какое из следующих чисел отрицательное?
A) B)
C) D) E)
|
|
|
7. Какое из нижеследующих чисел отрицательное?
A) B)
C) D) E)
|
|
|
8. Какие из следующих чисел , , и отрицательные?
A) B) C) D) E) таких нет
|
|
|
9. Упростите выражение:
A) B) C) D) E)
|
|
|
10. Упростите:
A) 0 B) 4 C) 2sin2 D) 1 E) 1 + 2sin2
|
|
|
11. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [].
A) 0 B) C) 2 - D) 1 E) 2 -
|
|
|
12. Определите наименьший положительный период функции
A) B) C) D) E)
|
|
|
13. Найдите наименьший положительный период функции
A) 2 B) C) D) E)
|
|
|
14. Упростите выражение:
A) 2sin B) 2 C) D) 1 E) 3
|
|
|
15. График какой из указанных функций изображен на рисунке?
A) B) C)
D) нет ответа E) -
|
|
|
16. Упростите:
A) 2sin B) cos C) - 2cos D) - sin E) - sin
|
|
|
17. Решите уравнение:
A) B)
C) D)
E)
|
|
|
Ключ ответов:
|
|
I - вариант
|
II - вариант
|
|
|
1
|
A
|
1
|
C
|
|
|
2
|
D
|
2
|
B
|
|
|
3
|
B
|
3
|
E
|
|
|
4
|
A
|
4
|
B
|
|
|
5
|
A
|
5
|
A
|
|
|
6
|
C
|
6
|
B
|
|
|
7
|
B
|
7
|
D
|
|
|
8
|
E
|
8
|
E
|
|
|
9
|
E
|
9
|
D
|
|
|
10
|
E
|
10
|
A
|
|
|
11
|
E
|
11
|
D
|
|
|
12
|
A
|
12
|
A
|
|
|
13
|
A
|
13
|
D
|
|
|
14
|
C
|
14
|
D
|
|
|
15
|
B
|
15
|
E
|
|
|
16
|
Е
|
16
|
E
|
|
|
17
|
С
|
17
|
А
|
|
|
Литература
1) А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2001
2) Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2000
3) В.А. Малугин "Математика для экономистов. Линейная алгебра", М., "Эксмо", 2006
4) В.И. Ермаков "Справочник по математике для экономистов", М., "Высшая школа", 1997
Отзыв
На учебное пособие "Тригонометрические функции", предмет "Математика", преподаватель Нургалиев А.З.
В учебном пособии "Тригонометрические функции", преподаватель Нургалиев А.З. дает весь необходимый теоретический материал для решения задач по данной теме. Кроме того в данном учебном пособии имеется в полном объеме перечень практических заданий для оценки знаний учащихся, с приведенными примерами решения. В учебном пособии рассмотрены следующие вопросы: углы их измерение, тригонометрические функции острого угла, основные свойства тригонометрических функций, тригонометрические уравнения и неравенства. Для наглядности в учебном пособии приведены графики функций, таблицы со схемами решений тригонометрических неравенств, основные формулы тригонометрии и их следствия. Положительным можно отметить то, что в данном учебном пособии имеются тесты для итоговой оценки знаний по данному разделу, контрольные вопросы для самопроверки знаний и прилагается рабочая тетрадь "Тригонометрия".
Данное учебное пособие можно рекомендовать использовать для изучения предмета "Математика".
Преподаватель: Наурызбаева Н.Т.
Приложения
Тригонометрия.
ФИО студента: _________________
Гр.: ____________
Тригонометрия.
ФИО студента: _________________
Гр.: ____________
2
2
Страницы: [1] | 2 |
|
