Дипломная работа
"Системы с постоянной четной частью"
Содержание
- Введение 3
- 1. Четные и нечетные вектор-функции 4
- 2. Основные сведения из теории отражающих функций 6
- 3. Системы чёт-нечет 11
- 4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная 14
- 5. Простые и простейшие системы 22
- 6. Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна 26
-
- 6.1 Системы, имеющие постоянную четную часть 26
- 6.2 Построение систем с заданной четной частью 27
- Заключение 31
Список использованных источников………………………………………… 25
Введение
Основным инструментом нашего исследования является понятие отражающей функции. Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.
При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.
В данной работе мы будем рассматривать семейства решений с постоянной четной частью, т.е. когда четная часть будет представлена в виде константы.
Разберем примеры систем, семейства решений которых имеют постаянную четную часть. Будем изучать построение систем с заданной четной частью.
1. Четные и нечетные вектор-функции
По аналогии с вещественными функциями одной переменной, вектор-функцию , будем называть четной (нечетной), если для всех , является четной (нечетной) функцией, т.е. область определения симметрична относительно нуля и ().
Любую функцию с симметричной областью определения, можно представить как сумму четной и нечетной функций. Действительно, если
и
то
и является четной функцией, а - нечетной.
будем называть четной частью функции , - нечетной.
Отметим следующие свойства четных и нечетных функций.
Свойство 1 Производная дифференцируемой четной (нечетной) функции есть функция нечетная (четная).
Доказательство. a) - четная функция.
Т.к. и существуют или не существуют одновременно, то , и . Таким образом, производная четной функции есть функция нечетная.
б) - нечетная функция.
Т.к. и существуют или не существуют одновременно, то , и . Таким образом, производная нечетной функции есть функция четная.
Свойство 2 Если - нечетная функция, то .
Доказательство. Поскольку - нечетная функция, то
Подставив вместо получаем
Откуда следует
2. Основные сведения из теории отражающих функций
Рассмотрим систему
считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через . Через обозначим интервал существования решения
Пусть
Определение: Отражающей функцией системы назовем дифференцируемую функцию
определяемую формулой
или формулами
Для отражающей функции справедливы свойства:
1) Для любого решения
системы верно тождество
2) Для отображающей функции любой системы выполнены тождества:
3) Дифференцируемая функция
будет отражающей функцией системы тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных
и начальному условию
Уравнение будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.
Доказательство. Свойство 1) следует непосредственно из определения . Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения системы верны тождества
Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку проходит некоторое решение системы , и следуют тождества .
Приступим к доказательству свойства 3). Пусть - отражающая функция системы . Тогда для неё верно тождество . Продифференцируем это тождество по и воспользуемся тем, что - решение системы , и самим тождеством . Получим тождество
из которого в силу произвольности решения следует, что - решение системы . Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.
Пусть некоторая функция удовлетворяет системе и условию . Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи - функция должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.
Лемма Основная лемма 3 Пусть правая часть системы -периодична по , непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным . Тогда отображение за период для системы можно найти по формуле
и поэтому решение
системы будет -периодическим тогда и только тогда, когда есть решение недифференциальной системы
В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение.
Утверждение 4 Пусть непрерывно дифференцируемая функция -периодична и нечетна по , т.е.
и . Тогда всякое продолжение на отрезок решение системы будет -периодическим и четным по .
Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что функция удовлетворяет уравнению и условию . Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое , для которого определено значение
Согласно основной лемме любое продолжимое на решение системы будет -периодическим. Четность произвольного решения системы следует из тождеств
справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.
Справедливы следующие утверждения .
Теорема 5 Пусть все решения системы -периодичны и однозначно определяются своими начальными данными. Тогда отражающая функция этой системы -периодична по
Теорема 6 Пусть система -периодична по а ее решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех Если, кроме того, отражающая функция этой системы -периодична по то все решения системы периодичны с периодом
Аналогичная теорема имеет место в том случае, когда не все решения системы продолжимы на отрезок При этом заключение о -периодичности можно сделать лишь для тех решений, которые существуют при всех
Из -периодичности отражающей функции следует -периодичность всех продолжимых на решений периодической системы . Из -периодичности отражающей функции не следует, вообще говоря, -периодичность решений -периодической системы, хотя следует их -периодичность.
Не следует думать, что если все решения -периодической системы -периодичны, то ее отражающая функция обязана быть -периодической. Этому противоречит пример уравнения
В случае, когда , т.е. когда система вырождается в уравнение, верна
Теорема 7 Пусть уравнение -периодично по а его решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех Тогда для того, чтобы все решения уравнения были -периодичны, необходима и достаточна -периодичность по отражающей функции этого уравнения.
3. Системы чёт-нечет
Рассмотрим систему
Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:
а) Функция непрерывно дифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы имеет единственное решение;
б) Правая часть системы -периодична по .
Лемма 8 Пусть система удовлетворяет условиям а) и б). Тогда продолжимое на отрезок решение этой системы будет -периодическим тогда и только тогда, когда
где
- есть нечетная часть решения .
Доказательство. Пусть - -периодическое решение системы . Тогда
Необходимость доказана.
Пусть - решение системы , для которого . Тогда
и поэтому
Таким образом, точка есть неподвижная точка отображения за период, а решение - -периодическое.
Доказанная лемма, вопрос о периодичности решения
сводит к вычислению одного из значений нечетной части . Иногда относительно можно сказать больше, чем о самом решении . Это позволяет в таких случаях делать различные заключения относительно существования периодических решений у систем вида . Дифференцируемые функции
удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим:
так как
решение системы . Заменяя в тождестве на и учитывая, что производная четной функции - функция нечетная, а производная нечетной функции - функция четная, получаем тождество -
Из тождеств и найдем производные:
Таким образом вектор-функция
удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка :
При этом
Систему будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе . решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.
4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная
Пример
Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него :
теперь продифференцируем его
Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы
Сделаем преобразования и приведем подобные
Таким образом:
Сделаем проверку, для этого в исходную систему подставим полученное решение:
Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы.
Четная часть общего решения:
Пример
Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него :
теперь продифференцируем его
Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы
Сделаем преобразования и приведем подобные
Таким образом:
Сделаем проверку:
Четная часть общего решения
Пример
Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него :
теперь продифференцируем его
Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы
Получили два решения и .
1) ;
2) ;
Сделаем проверку для :
Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы.
Сделаем проверку для :
Отсюда видно, что не являются решением для исходной системы.
Таким образом:
Четная часть общего решения
Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:
где и - нечетные функции, а четная часть представлена константой.
; ;
Системы вида будут иметь семейства решений с постоянной четной частью. В этом легко убедится, проделав вычисления, аналогичные предыдущим примерам.
5. Простые и простейшие системы
Лемма 9 Для всякой непрерывно дифференцируемой функции
для которой выполнены тождества , имеют место соотношения
Теорема 10 Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции определенной в симметричной области , содержащей гиперплоскость для которой выполнены тождества , существует дифференциальная система
c непрерывно дифференцируемой правой частью, отражающая функция которой совпадает с .
Теорема 11 Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции
определенной в области содержащей гиперплоскость , для которой выполнены тождества , при всех и достаточно малых существует дифференциальная система
отражающая функция которой совпадает с а общий интеграл задается формулой
Следствие 12 Дважды непрерывно дифференцируемая функция
является отражающей функцией хотя бы одной дифференциальной системы тогда и только тогда, когда для нее выполнены тождества .
Системы, существование которых гарантируется теоремами и , называются соответственно простой и простейшей.
Теорема 13 Пусть
простейшая система, тогда
где - отражающая функция системы .
Доказательство. Если система простейшая,
Теорема 14 Пусть
есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы, решения которой однозначно определяются своими начальными данными, а для непрерывно дифференцируемой функции
выполнены тождества . Тогда для того, чтобы в области функция совпадала с необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая система имела вид
или вид
где
есть некоторая непрерывная вектор-функция.
Будем говорить, что множество систем вида образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция
со свойствами:
1) Oтражающая функция
любой системы из рассматриваемого множества совпадает в своей области определения с функцией
2) Любая система вида , отражающая функция
которой совпадает в области с функцией содержится в рассматриваемом множестве.
Две системы вида , принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определенную вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс - соответствующим отражающей функции .
Из третьего свойства отражающей функции следует, что система и система
принадлежат одному классу эквивалентности тогда и только тогда, когда система уравнений
совместна.
Необходимым условием совместности этой системы является тождество .
6. Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна
6.1 Системы, имеющие постоянную четную часть
Пусть нам дана система
Перед нами стоит следующий вопрос о том, когда семейство решений этой системы будут иметь постоянную четную часть.
То есть, когда не будет зависеть от времени .
Возьмем отражающую функцию системы и используя
получим четную часть следующим образом:
Теорема 15 Если выполнено тождество
где - отражающая функция, для линейной системы вида , то любое решение этой системы имеет постоянную четную часть.
Доказательство. Возьмем любое решение системы . Его производная
Поэтому можем записать
Из условия теоремы имеем
Таким образом получили, что - четная вектор-функция. Тогда
6.2 Построение систем с заданной четной частью
Рассмотрим систему . Будем строить систему с заданной четной частью.
Пусть нам известна четная часть . Воспользуемся формулой и преобразуем ее
Следовательно, можем записать
Отсюда зная , получим
где - отражающая функция системы. Исключая из предыдущего соотношения, с произвольной отражающей функцией , удовлетворяющей условию
получим требуемую систему.
Пример 16 Пусть
где - заданная четная часть, . Продифференцируем обе части равенства
Преобразуем правую часть
Перепишем полученное в виде:
Выразим :
Для всех систем вида должно быть выполнено условие
Возьмем
Найдем , . ;
Подставим значения , в систему :
Получаем требуемую систему:
Пример 17 Пусть
где - заданная четная часть, . Продифференцируем обе части равенства
и преобразуем правую часть
Перепишем полученное в виде:
Выразим :
Для всех таких систем должно быть выполнено условие .
Возьмем . Найдем , . ,
Подставим найденные значения в систему и сделав преобразования аналогичные примеру , получаем:
Рассмотрим теперь общий случай, когда нам задана четная часть общего решения системы с отражающей функцией . В этом случае
Поэтому, если нам задана, то из соотношения
при заданной мы найдем общее решение искомой системы. Саму систему мы построим исключая из соотношений
Таким образом, мы пришли к
Теорема 18 Всякая система
где находятся из системы
при любой заданной дифференцируемой функции , удовлетворяющей соотношениям
имеет общее решение с четной частью .
Если
то система имеет вид:
Таким образом, мы пришли к выводу:
Следствие 19 Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.
Заключение
Основным результатом данной работы является построение дифференциальных систем, семейство решений которых имеет заданную четную часть. А так же теорема о связи простейшей системы и системы, семейство решений которой имеет постоянную четную часть.
Теорема. Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.
Список использованных источников
Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1971 - 240 с.
Бибиков Ю.Н., Общий курс дифференциальных уравнений, изд. Ленинградского университета, 1981 - 232 с.
Еругин Н.П., Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание, М. изд. Наука и Техника, 1979 - 744 с.
Мироненко В.И., Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений, г. Минск: изд. Университетское, 1986 - 76 с.
Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1970 - 331 с.
|
Заказать