Главная   Заказать уникальную работу Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр | дипломная работа


Бесплатные Рефераты, дипломные работы, курсовые работы, доклады - скачать бесплатно Бесплатные Рефераты, дипломные работы, курсовые работы, доклады и т.п - скачать бесплатно.
 Поиск: 


Категории работ:
Рефераты
Дипломные работы
Курсовые работы
Контрольные работы
Доклады
Практические работы
Шпаргалки
Аттестационные работы
Отчеты по практике
Научные работы
Авторефераты
Учебные пособия
Статьи
Книги
Тесты
Лекции
Творческие работы
Презентации
Биографии
Монографии
Методички
Курсы лекций
Лабораторные работы
Задачи
Бизнес Планы
Диссертации
Разработки уроков
Конспекты уроков
Магистерские работы
Конспекты произведений
Анализы учебных пособий
Краткие изложения
Материалы конференций
Сочинения
Эссе
Анализы книг
Топики
Тезисы
Истории болезней
 




Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр - дипломная работа


Категория: Дипломные работы
Рубрика: Математика
Размер файла: 266 Kb
Количество загрузок:
157
Количество просмотров:
763
Описание работы: дипломная работа на тему Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
Подробнее о работе: Читать или Скачать
ВНИМАНИЕ: Администрация сайта не рекомендует использовать бесплатные Дипломные работы для сдачи преподавателю, чтобы заказать уникальные Дипломные работы, перейдите по ссылке Заказать Дипломные работы недорого
Смотреть
Скачать
Заказать



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"

Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии

Допущена к защите

Зав. кафедрой Шеметков Л.А.

" " 2005г.

Дипломная работа

Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр

Исполнитель

студентка группы М-51

Шутова И.Н.

Руководитель

Д., ф-м н., профессор Монахов В.С.

Гомель 2005

Содержание

Введение

1. Основные определения и используемые результаты

2. Свойство централизаторов универсальных алгебр

3. Мультикольцо

Заключение

Список использованных источников

Введение

В теории формаций конечных групп, мультиколец и многих других алгебраических систем исключительно важную роль играют такие понятия, как локальные экраны, локальные формации, основанные на определении центральных рядов. Впервые понятие централизуемости конгруэнций было введено Смитом в работе [5]. Возникает задача согласованности определения централизуемости Смита с определением в группах и мультикольцах.Такая задача была решена в указанной работе Смита [5], где было показано:нормальная подгруппа группы централизует подгруппу тогда и только тогда, когда конгруэнции,индуцированные этими нормальными подгруппами, централизуют друг друга в смысле Смита.

Возникает следующий вопрос: справедливо ли аналогичное утверждение для мультиколец, т.е. будут ли выполнятся свойства централизуемости, изложенные в работе [3], для универсальных алгебр.

В настоящей дипломной работе решается задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал тогда и только тогда централизуется идеалом , когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.

Дипломная работа включает в себя введение, три параграфа и список литературы из 10 наименований.

Перейдем к краткому изложению содержания дипломной работы.

Раздел 1 является вспомогательным и включает в себя все необходимые определения и используемые результаты.

Раздел 2 носит реферативный характер. Здесь приводятся свойства централизаторов конгруэнций, доказательства которых изложены в работах [5, 6, 7].

Раздел 3 является основным. Здесь вводится определение мультикольца, определение идеала мультикольца, определение централизатора идеала и с использованием данных определений доказывается основной результат работы (теоремы 3.4. и 3.5).

1. Основные определения и используемые результаты

Определение 1.1. [1] Универсальной алгеброй, или, короче, алгеброй называется пара , где - непустое множество, - (возможно пустое) множество операций на .

Определение 1.2. [1] Конгруэнцией на универсальной алгебре называется всякое отношение эквивалентности на , являющееся подалгеброй алгебры .

Определение 1.3. [1] Если и - алгебры сигнатуры , то отображение называется гомоморфизмом, если для любой -арной операции и любых элементов выполняется равенство:

Взаимно однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом.

Теорема 1.1. [1] Пусть - гомоморфизм универсальных алгебр, тогда множество

является конгруэнцией на алгебре и называется ядром гомоморфизма

Теорема 1.2. [1] Пусть - гомоморфное наложение, тогда .

Теорема 1.3. [1] Пусть - конгруэнции на алгебре и , тогда .

Определение 1.4. [2] Непустой абстрактный класс алгебр сигнатуры называется многообразием, если замкнут относительно подалгебр и прямых произведений.

Многообразие называется мальцевским, если конгруэнции любой алгебры из попарно перестановочны.

Теорема 1.4. [2] Конгруэнции любой алгебры многообразия попарно перестановочны тогда и только тогда, когда существует термальная операция , что во всех алгебрах из справедливы тождества

Определение 1.5. [3] Пусть и - факторы алгебры . Тогда они называются:

1) перспективными, если либо и , либо и ;

2) проективными, если в найдутся такие факторы , что для любого факторы и перспективны.

Теорема 1.5. [4] Между факторами произвольных двух главных рядов алгебры , принадлежащей мальцевскому многообразию, можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие факторы проективны и централизаторы в равны.

Теорема 1.6. [2] (Лемма Цорна). Если верхний конус любой цепи частично упорядоченного множества не пуст, то содержит максимальные элементы.

2. Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр

Под термином ``алгебра в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие . Используются определения и обозначения из работы [1]. Дополнительно отметим, что конгруэнции произвольной алгебры обозначаются греческими буквами. Если - конгруэнция на алгебре , то - класс эквивалентности алгебры по конгруэнции , - факторалгебра алгебры по конгруэнции . Если и - конгруэнции на алгебре , , то конгруэнцию на алгебре назовем фактором на . Очевидно, что тогда и только тогда, когда . или и или - соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры .

Будем пользоваться следующим определением централизуемости конгруэнций, эквивалентность которого определению Смита [5] доказана в работе [6].

Определение 2.1. Пусть и - конгруэнции на алгебре . Тогда централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что:

1) из всегда следует ;

2) для любого элемента всегда выполняется

3) если , то .

Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом [5], сформулируем в виде леммы.

Лемма 2.1. Пусть . Тогда:

существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;

;

если , то .

Из леммы 2.1 и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции на алгебре существует такая единственная наибольшая конгруэнция , что . Эту конгруэнцию будем называть централизатором конгруэнции в и обозначать .

Лемма 2.2. Пусть - конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:

;

, где ;

если, , либо

, либо

, то всегда ;

из всегда следует .

Доказательство. 1). Очевидно, что - конгруэнция на , удовлетворяющая определению 1. Значит, в силу п.1) леммы 2.1 .

2). - конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. Значит, .

3). Пусть . Тогда

Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор такой, что , для любых элементов . Тогда получим

Аналогичным образом доказываются остальные случаи п.3).

4). Пусть . Тогда справедливы следующие соотношения:

Следовательно, , где - мальцевский оператор. Тогда , т.е. . Так как и , то . Таким образом . Лемма доказана.

В дальнейшем мы будем часто ссылаться на следующий хорошо известный факт (доказательство см., например [6]).

Лемма 2.3. Любая подалгебра алгебры , содержащая конгруэнцию , является конгруэнцией на .

Доказательство следующего результата работы [5] содержит пробел (следствие 224 [5] неверно, см. [7]), поэтому докажем его.

Лемма 2.4. Пусть . Тогда для любой конгруэнции на

Доказательство. Обозначим и определим на алгебре бинарное отношение следующим образом:

тогда и только тогда, когда , где , . Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что - конгруэнция на алгебре , причем .

Пусть , т.е. , . Тогда и, значит, .

Пусть, наконец, имеет место и . Тогда справедливы следующие соотношения:

Применяя мальцевский оператор к этим трем соотношениям, получаем: . Из леммы 2.2 следует, что . Так как и , то . Значит, . Но , следовательно, . Итак, и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

Лемма 2.5. Пусть и - конгруэнции на алгебре , и - изоморфизм, определенный на . Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором . В частности, .

Доказательство. Очевидно, что - изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям и . Так как , то определена конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что для любых элементов и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что - конгруэнция на алгебре изоморфная конгруэнции . Это и означает, что . Лемма доказана.

Если и - факторы на алгебре такие, что , то конгруэнцию обозначим через и назовем централизатором фактора в .

Напомним, что факторы и на алгебре называются перспективными, если либо и , либо и .

Докажем основные свойства централизаторов конгруэнций.

Теорема 2.1. Пусть - конгруэнции на алгебре . Тогда:

если , то ;

если , то ;

;

если , и факторы , перспективны, то

если - конгруэнции на и , то

Доказательство. 1). Так как конгруэнция централизует любую конгруэнцию и , то .

2). Из п.1) леммы 2.2 следует, что , а в силу леммы 2.4 получаем, что .

Пусть - изоморфизм . Обозначим

По лемме 2.5 , а по определению

Следовательно, .

3). Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнций и на алгебре имеет место равенство:

Покажем вначале, что

Обозначим . Тогда, согласно определения 2.1, на алгебре существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:

а) если , то ;

б) для любого элемента , ;

в) если и , то .

Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда и , . Покажем, что - конгруэнция на . Пусть , . Тогда и , . Так как - конгруэнция, то для любой -арной операции имеем:

Очевидно, что (, и , . Следовательно, . Очевидно, что для любой пары . Значит, . Итак, по лемме 2.3, - конгруэнция на . Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, т.е. централизует .

Пусть

Тогда и . Так как , и , то . Следовательно, удовлетворяет определению 2.1.

Если , то , значит,

Пусть, наконец, имеет место (1) и

Тогда . Так как и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит, и поэтому . Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, т.е. централизует . Докажем обратное включение. Пусть . Тогда на алгебре определена конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и , . Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что - конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения следует, что . Покажем поэтому, что централизует . Так как , и , то , т.е. удовлетворяет условию 1) определения 2.1.

Если , то , следовательно, .

Пусть имеет место (3) и . Так как , , то и . Из (4) следует, что , следовательно, , т.е. . На основании леммы 2.2 заключаем, что . Следовательно, . Но так как , то , т.е. .

4) Обозначим . Пусть и удовлетворяет определению 2.1. Определим бинарное отношение на следующим образом тогда и только тогда, когда . Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что - конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1. Это и означает, что . Теорема доказана.

Как следствие, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.

3 Мультикольцо

Согласно [2] алгебра сигнатуры называется мультикольцом,если алгебра -группа(не обязательно абелева).Все операции из имеют ненулевые арности и для любой -арной операции и любых элементов имеет место =,для любого . Заметим,что мультикольцо является дистрибутивной -группой в смысле определения Хиггинса [10] или мультиоператорной группой согласно А.Г.Куроша [9]. Для мультиколец справедливы следующие равенства:

где ,как обычно, обозначается элемент,противоположный к элементу .

Докажем,например,первое равенство.

Прибавляя к обеим частям равенства элемент,противоположный к элементу

получаем требуемое равенство.

Определение. Подалгебра мультикольца называется идеалом [9],если -нормальная подгруппа группы и для любой -арной операции , произвольного и любых , имеет место

В частности,если -нульарная или унарная операция,то это означает,что

Как следует из примера [8] конгруэнции на мультикольце перестановочны. Следующая теорема устанавливает соответствие между идеалами и конгруэнциями мультикольца.

Теорема 3.1 [2] Пусть -идеал мультикольца и

Тогда -конгуэнция на и любая конгруэнция на имеет такой вид для подходящего идеала .

Доказательство.

Так как

то . Покажем,что -подалгебра алгебры .Проверим вначале замкнутость относительно групповых операций. Пусть , т.е. . Тогда в силу того,что ,получаем

т.е.

т.е.. Пусть теперь -n-арная операция и , Так как -идеал,то получаем

т.е. . Теперь из леммы [8] следует,что -конгруэнция на . Обратно,пусть -конгруэнция на . Положим

Из [8] следует,что -нормальная подгруппа группы . Аналогичным образом,как и в [8],показывается,что -идеал мультикольца . Теорема доказана.

Следствие 3.2. Решетка идеалов мультикольца изоморфна решетке его конгруэнций.

Определение 3.3 [3].Пусть -идеал мультикольца .Тогда централизатором в называется наибольший идеал в такой,что для любого и любого выполняются следующие условия:

1) ;

2) для любой -арной операции ,любых различных ,произвольных справедливо

Теорема 3.4. Пусть и -идеалы мультикольца и . Тогда и индуцируют на соответственно конгруэнции и , где

тогда

Доказательство :

Определим бинарное отношение на следующим образом тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы и ,что справедливы равенства

Очевидно,что -отношенме эквивалентности на , удовлетворяющее условиям 1)-3) определения 2.1.,замкнутость которого относительно групповых операций доказана в примере [8]

Пусть теперь --арная операция и Тогда

и

для любых Следовательно,

Подставляя в правую часть последнего равенства значения и учитывая,что после раскрытия скобок члены,одновременно содержащие элементы и ,равны нулю , получаем в правой части равенства выражение

Так как -идеал,то

Итак,

тогда .

Теорема 3.5 Пусть и -идеалы мультикольца , , -конгруэнции,определенные в теореме 3.4. и .Тогда .

Доказательство : Пусть -конгруэнции мультикольца и . Обозначим смежные классы по и ,являющиеся идеалами мультикольца, соответственно и . Возьмем произвольные элементы , , . Тогда

Следовательно,для любой -арной операции , любых различных получаем

Из определения 2.1. следует,что

Очевидно,что справедливо и другое аналогичное равенство определения [8] Т.к. из примера [8] следует,что ,то это означает, что .

Очевидно,что из теорем 3.4. и 3.5. и результатов раздела 2 следуют все известные свойства централизаторов подгрупп,а так же свойства централизаторов идеалов мультиколец работы [3](Лемма 2.8).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей дипломной работе решается задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал тогда и только тогда централизуется идеалом , когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.

Результаты данной дипломной работы могут быть использованы при чтении спецкурса для студентов математического факультета,а так же аспирантами и научными сотрудниками,занимающимися проблемами современной алгебры.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Кон П.М. Универсальная алгебра. - М.: Мир, 1968. - 351 с.

2. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. - М.Наука, 1983. - 272 с.

3. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989. - 256 с.

4. Ходалевич А.Д. Универсальные алгебры с -централизаторными рядами конгруэнций // Весцi Акадэмii навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. - 1994. - № 1. - с. 30--34.

5. Smith D.H. Malcev varieties // Lect. Notes Math. - 1976. - V. 554. - 158 p.

6. Ходалевич А.Д. Формационные свойства нильпотентных алгебр // Вопросы алгебры. - Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1992. - Вып. 7. - с.76--85.

7. Ходалевич А.Д. Класс нильпотентных универсальных алгебр / Ред. ж. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат.н. - Минск, 1991. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.02.91: 4555 - В91.

8. Ходалевич А.Д. Прикладная алгебра //Спецкурс.-Гомель:Изд-во Гомельского ун-та,2002.-с.30

9. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре.- М.:Наука,1973.-339с.

10. Higgins P.J. Groups with multiple operators //Proc. London math.Soc.-1956.-V.6,--№3.-p. 366--416.

Отзыв

на дипломную работу

``Свойства централизаторов конгруэнций универсальных алгебр

студентки 5 курса математического

факультета Шутовой И.Н.

Дипломная работа Шутовой И.Н. посвящена решению задачи изучения формационных свойств подалгебр универсальных алгебр.В отличии от теории многообразий, где основным методом изучения является понятие тождеств, в теории формаций одним из основных является понятие централизуемости. Это связано с определением локальных формаций.

В дипломной работе Свойства централизаторов конгруэнций универсальных алгебр решена задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал тогда и только тогда централизуется с идеалом , когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.

В процессе работы над дипломной работой студентка Шутова И.Н. проявила способность к самостоятельным исследованиям, умение работать с научной литературой.

Считаю, что дипломная работа студентки Шутовой И.Н. удовлетворяет необходимым требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и заслуживает оценки "отлично", а студентка Шутова И.Н. заслуживает присвоения ей квалификации "Математик. Преподаватель математики."

Научный руководитель,

к.ф.-м.н., доцент А.Д.Ходалевич

Рецензия

на дипломную работу

``Свойства централизаторов конгруэнций универсальных алгебр

студентки 5 курса математического

факультета Шутовой И.Н.

Теория универсальных алгебр вплоть до 70-х годов развивалась исключительно в рамках теории многообразий. Появление в свет книги Л.А.Шеметкова и А.Н.Скибы Формации алгебраических систем указало на новые возможности в исследовании универсальных алгебр. Особую значимость в указанной теории играет понятие локальных формаций, в основе которых лежит понятие централизуемости.

В рецензируемой дипломной работе решается проблема адаптирования понятия централизуемость идеалов мультиколец работы [3] с работой Смита [5] и получен новый результат: идеал тогда и только тогда централизуется с идеалом , когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.

Дипломная работа аккуратно оформлена. Полученные здесь результаты являются новыми и представляют научный интерес.

Считаю, что дипломная работа студентки Шутовой И.Н. удовлетворяет необходимым требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и заслуживает оценки ``отлично.

Рецензент

к.ф.-м.н.,доцент Харламова В.И.














 
Показывать только:
Портфель:
Выбранных работ  


Рубрики по алфавиту:
АБВГДЕЖЗ
ИЙКЛМНОП
РСТУФХЦЧ
ШЩЪЫЬЭЮЯ

 

 

Ключевые слова страницы: Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр | дипломная работа

СтудентБанк.ру © 2021 - Банк рефератов, база студенческих работ, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам, а также отчеты по практике и многое другое - бесплатно.