Главная   Заказать уникальную работу Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп | курсовая работа


Бесплатные Рефераты, дипломные работы, курсовые работы, доклады - скачать бесплатно Бесплатные Рефераты, дипломные работы, курсовые работы, доклады и т.п - скачать бесплатно.
 Поиск: 


Категории работ:
Рефераты
Дипломные работы
Курсовые работы
Контрольные работы
Доклады
Практические работы
Шпаргалки
Аттестационные работы
Отчеты по практике
Научные работы
Авторефераты
Учебные пособия
Статьи
Книги
Тесты
Лекции
Творческие работы
Презентации
Биографии
Монографии
Методички
Курсы лекций
Лабораторные работы
Задачи
Бизнес Планы
Диссертации
Разработки уроков
Конспекты уроков
Магистерские работы
Конспекты произведений
Анализы учебных пособий
Краткие изложения
Материалы конференций
Сочинения
Эссе
Анализы книг
Топики
Тезисы
Истории болезней
 




Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп - курсовая работа


Категория: Курсовые работы
Рубрика: Математика
Размер файла: 506 Kb
Количество загрузок:
140
Количество просмотров:
902
Описание работы: курсовая работа на тему Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп
Подробнее о работе: Читать или Скачать
ВНИМАНИЕ: Администрация сайта не рекомендует использовать бесплатные Курсовые работы для сдачи преподавателю, чтобы заказать уникальные Курсовые работы, перейдите по ссылке Заказать Курсовые работы недорого
Смотреть
Скачать
Заказать



Курсовая работа

"Решетки субнормальных и -субнормальных подгрупп"

Введение

В теории конечных групп одним из центральных понятий является понятие -субнормальной подгруппы. Изучению свойств субнормальных подгрупп конечных групп положило начало в 1939 г. известная работа Виландта [10], оказавшая огромное влияние на развитие всей теории конечных групп в последующие годы.

В первом разделе курсовой работы изучаются основные положения теории субнормальных подгрупп. Важнейшим достижением данной теории является результат Виландта о том, что множество всех субнормальных подгрупп любой конечной группы образует решетку.

Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп. Хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца [8], вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления - теории формаций.

В теории формаций одним из важнейших понятий является понятие -субнормальных подгрупп, которое является естественным расширением субнормальных подгрупп. Поэтому, конечно, возникает задача о построении теории -субнормальных подгрупп, аналогичной теории субнормальных подгрупп Виландта.

Во втором разделе курсовой работы рассматриваются минимальные не -группы.

В третьем разделе приводится описание локальных наследственных формаций, обладающих решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

1. Субнормальные подгпруппы и их свойства

Определение. Пусть - подгруппа группы . Цепь подгрупп

в которой для любого , ,…, , называется субнормальной -цепью, а число - длиной этой цепи. Наименьшее , при котором существует хотя бы одна субнормальная -цепь длины , называется дефектом подгруппы в и обозначается через .

Определение. Пусть - подгруппа группы . Если существует хотя бы одна субнормальная -цепь, то подгруппа называется субнормальной, обозначается .

Лемма. Если субнормальна в , и субнормальна в , то субнормальна в .

субнормальна в , следовательно, по определению субнормальной подгруппы существует субнормальная -цепь

субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь

Таким образом, мы получили субнормальную -цепь

то есть субнормальна в по определению. Лемма доказана.

Теорема. Если подгруппа субнормальна, но не нормальна в , то существует такой элемент , что

Доказательство. Пусть - дефект подгруппы в группе . Рассмотрим субнормальную -цепь длины :

Из того, что не нормальна в , следует, что . не нормальна и в , иначе мы получаем противоречие с тем, что - дефект подгруппы в группе , так как в этом случае подгруппу в цепи можно было опустить. Поэтому существует элемент такой, что . Теперь имеем

Так как , то . С другой стороны, и , откуда получаем . Теорема доказана.

Определение. Пусть - субнормальная подгруппа дефекта в . Субнормальная -цепь

называется канонической, если для любой субнормальной -цепи

имеет место , , ,…, .

Другими словами, каноническая субнормальная цепь входит почленно в любую другую субнормальную цепь той же длины.

Теорема. Если субнормальна в , то существует единственная каноническая субнормальная -цепь.

Доказательство. Пусть - дефект подгруппы в группе . Будем рассматривать все возможные субнормальные -цепи длины .

все субнормальные -цепи длины ( - второй индекс). Положим . Так как , то для любого , ,…, мы имеем

Таким образом, цепь

является субнормальной -цепью длины и, следовательно, не имеет повторений. Так как при любых и , то теорема доказана.

Теорема. Если субнормальна в и - подгруппа , то пересечение есть субнормальная подгруппа .

Доказательство. Рассмотрим субнормальную -цепь минимальной длины :

Положим . Получаем цепь

Ясно, что она будет субнормальной, так как . Действительно, пусть , значит, и . Тогда для любого , так как и .

Мы получили субнормальную -цепь. Теорема доказана.

Следствие. Пусть и - подгруппы группы . Если субнормальна в и - подгруппа , то субнормальна в .

Доказательство. Пусть и цепь

является субнормальной -цепью.

Положив , получим субнормальную -цепь

что и требовалось.

Теорема. Пусть субнормальна в и субнормальна в . Тогда пересечение есть субнормальная подгруппа в.

Доказательство. Пусть - наибольший из дефектов подгрупп и в группе . Очевидно, существует (возможно, с повторениями) цепи

Положим , , ,…, . Из , следует, что нормальна в . Следовательно, цепь

является субнормальной -цепью, что и доказывает теорему.

Лемма. Если субнормальна в , а - нормальная подгруппа группы , то произведение есть субнормальная подгруппа группы .

Доказательство. субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь

Следовательно, цепь

будет субнормальной.

Действительно, так как и , то . Лемма доказана.

Лемма. Если подгруппы и субнормальны в и , топроизведение есть субнормальная подгруппа группы .

Доказательство. Если нормальна в , то результат следует по лемме 1.9.

Предположим, что не нормальна в , то есть . Будем считать, что теорема верна для субнормальных подгрупп с дефектом меньшим . Таким образом, если и субнормальны в причем и , то по индуктивному предположению субнормальна в .

Пусть - каноническая субнормальная -цепь. Так как нормализует подгруппу , то для любого цепь

будет субнормальной -цепью. По свойству канонической субнормальной -цепи , а значит, для любого , ,…, (по определеделению).

Следовательно, содержится в для любого . Так как и , то по индукции субнормальна в . По следствию 1.7.1 субнормальна в . Так как и , то . Таким образом, , , а значит, по лемме 1.9 подгруппа субнормальна в . К тому же , то мы получаем . Лемма доказана.

Теорема. Если и - субнормальный подгруппы группы , то есть также субнормальная подгруппа .

Доказательство. Положим . Среди субнормальных подгрупп группы , содержащихся в , выберем подгруппу , имеющю наибольший порядок. По следствию 1.7.1 субнормальна в . Докажем, что нормальна в . Предположим противное, то есть что не нормальна в . Тогда по теореме 1.4 найдется такой элемент , что , и . Так как субнормальна в и , то субнормальна в . Получается следующая ситуация: и субнормальны в , . По лемме 1.10 субнормальна в . Ввиду выбора отсюда следует , что противоречит .

Итак, нормальна в , а значит, и нормализуют подгруппу . По лемме 1.10 и субнормальны в . Так как и , то ввиду выбора получаем . Следовательно, , откуда вытекает, что . Теорема доказана.

Объединим теоремы 1.8 и 1.11 в один результат.

Теорема (Виландт). Множество всех субнормальных подгрупп группы образует подрешетку решетки .

Отметим одно часто используемое приложение теорем 1.4 и 1.12.

Теорема. Пусть - некоторое непустое множество субнормальных подгрупп группы , удовлетворяющее следующим условиям:

1) если и , то ;

2) если , , , , то .

Тогда для любой подгруппы .

Доказательство. Возьмем произвольную подгруппу из . Если не нормальна в , то по теореме 1.4 найдется такой элемент , что , , . По условиям 1) и 2) , . Если не нормальна в , то найдется такой, что , , . Тогда и . Если не нормальна, то описанную процедуру применяем к . Так как конечна, то этот процесс завершится построением нормальной подгруппы , представимой в виде , где - некоторые элементы из . Очевидно, , и теорема доказана.

Следствие. Если - непустой радикальный класс, то содержит все субнормальные -подгруппы группы .

Доказательство. Пусть - множество всех субнормальных -подгрупп из . Ввиду теоремы 1.12 легко заметить, что удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 1.13.

Следствие. Для любой субнормальной подгруппы группы справедливы следующие утверждения:

1) если - -группа, то ;

2) если нильпотентна, то ;

3) если -нильпотентна, то ;

4) если разрешима, то .

2. Минимальные не -группы

Лемма [3]. Пусть , где - локальная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) группа монолитична с монолитом

2) - -группа для некоторого простого ;

3) - -эксцентральный главный фактор ;

4) ;

5) если группа неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппы Фраттини совпадают и имеют экспоненту ;

6) если абелева, то она элементарна;

7) если , то - экспонента ; при экспонента не превышает 4;

8) для любой -абнормальной максимальной подгруппы из имеет место

9) любые две -абнормальные максимальные подгруппы группы сопряжены в ;

10) если и подгруппа содержит , то для любого полного локального экрана формации ;

11) если - -абнормальная максимальная подгруппа группы и - некоторый полный локальный экран , то - минимальная не -группа и либо , либо .

Доказательство. 1) Пусть - минимальная нормальная подгруппа из такая, что . Очевидно, что . Противоречие. Итак, - минимальная нормальная подгруппа . Так как - формация, то, нетрудно заметить, что - единственная минимальная нормальная подгруппа из . А это значит, что

Отсюда следует, что

2) Выше мы показали, что - главный -фактор. Покажем, что - -группа. Предположим противное. Пусть простое число делит , но не делит . По лемме 4.4 из [5] , где - содержащаяся в силовская -подгруппа из . Тогда

Отсюда и из насыщенности получим . Но тогда , что невозможно.

Пусть - главный фактор группы . Ввиду 2) является -группой и . Следовательно, каждая -абнормальная масимальная подгруппа группы является -нормализатором группы . Так как -нормализатор группы покрывает только -центральные главные факторы, то мы получаем, что -гиперцентральна в . Согласно следствию 9.3.1 из [5] . Отсюда следует, что , т.е. .

Обозначим через коммутант группы . Так как - -корадикал группы , то по теореме 11.6 из [5] каждый главный фактор группы на участке от до -эксцентрален. Отсюда и из -гиперцентральности заключаем, что . Так как

то мы получаем тaкже рaвенство . Таким образом, утверждения 2) - 6), 9) доказаны.

Докажем 7). Предположим, что неабелева. Пусть - произвольный элемент из . Ввиду 4) , причем . Следовательно,

для всех элементов , из . Это означает, что имеет экспоненту . Учитывая это и то, что содержится в , получаем для любых , из при :

Значит, отображение является -эндоморфизмом группы . Так как

то -гиперцентральна в . Вспоминая, что - -эксцентральный главный фактор, получаем равенство . Так как имеет экспоненту , то утверждение 7) при доказано.

Пусть . Тогда

где . Рассматривая отображение как и выше получаем, что . Значит имеет экспоненту не больше 4.

Докажем 8). Выше мы доказали, что . Пусть . Тогда в найдется такая максимальная подгруппа , что . Так как , то . Отсюда . Противоречие. Итак, . По теореме 9.4 из [5] имеем для любой -абнормальной максимальной подгруппы группы . Нетрудно показать, что .

По теореме 7.11 из [5],

Так как , то

Ввиду того, что и - главный фактор , имеем . Итак, . Пусть - любая -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда . Ясно, что

Не ограничивая общности, положим . Тогда - единственная минимальная нормальная подгруппа . Легко видеть, что и . Но - -группа. Значит, . По условию . Следовательно, ввиду полноты экрана имеет место

то . Таким образом, всякая собственная подгруппа группы принадлежит . Допустим, что . Тогда

и поэтому . Полученное противоречие показывает, что , т.е. - минимальная не -группа.

Предположим теперь, что . Покажем, что . Не теряя общности, можно положить, что . Тогда , . Пусть , где и , где . Для всякого через обозначим подгруппу . Предположим, что все отличны от . Так как , то - дополнение к в . Если для всех различных и , то

и поэтому . Противоречие. Значит для некоторых различных и . Из последнего вытекает

что невозможно. Полученное противоречие показывает, что для некоторого и, следовательно, . Лемма доказана.

Лемма [4]. Пусть - наследственная локальная формация, - такая нормальная подгруппа группы , что . Тогда равносильно .

Доказательство. Пусть . Тогда , и если - произвольная максимальная подгруппа , то , а значит, и принадлежит . Следовательно, .

Предположим теперь, что . Понятно, что .Пусть - произвольная максимальная подгруппа , тогда . Пусть - произвольный -главный фактор из . Обозначим . Пусть - максимальный внутренний локальный экран формации , и пусть . Так как , то . Покажем, что . По лемме 8.7 из [6] формация наследственна. Следовательно, если , то сразу получим . Если же , то вытекает из изоморфизма . Итак, всякий -главный фактор из , -централен в . Значит, . Таким образом, . Лемма доказана.

Лемма [3]. Пусть - локальная наследственная формация, - некоторый ее полный экран. Группа принадлежит тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1) ;

2) , где - главный -фактор группы , - минимальная не -группа.

Доказательство. Необходимость вытекает из леммы 2.1.

Достаточность. Пусть и - произвольные максимальные подгруппы . Покажем, что . Если -абнормальна, то ввиду леммы 2.1 имеем . Значит, . Пусть . По условию

Следовательно, и по лемме 2.1 - -группа. Значит по лемме 8.2 из [6] . Итак, . Применяя теперь лемму 2.1 получаем, что . Лемма доказана.

Лемма [3]. Пусть - локальная формация, имеющая постоянный наследственный локальный экран . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) для любого из ;

2) тогда и только тогда, когда для любого из , - главный фактор , .

Доказательство. 1) Пусть - произвольная группа из . Покажем, что . Предположим противное. Пусть - подгруппа наименьшего порядка из , не принадлежащая . Очевидно, что . Так как - постоянный экран, то ввиду леммы 4.5 из [5] для любого из . Если , то из того, что следует . Получили противоречие. Итак, - собственная подгруппа из . Но тогда , что невозможно.

2) Пусть . Покажем, что . Так как

то, не ограничивая общности, можно считать, что . Пусть - произвольная -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда по лемме 2.1 , где . Очевидно, что . Отсюда следует, что - -группа. Так как и - постоянный экран, то . Пусть - произвольная собственная подгруппа из . Так как формация наследственна, то . Кроме того, . Отсюда . Следовательно,

Если теперь , то . Отсюда нетрудно заметить, что . Противоречие. Итак, . Из леммы 2.1 следует, что

есть главный -фактор группы .

Пусть теперь . Очевидно, что . Пусть - собственная подгруппа из .Рассмотрим подгруппу . Если , то тогда

Согласно пункту 1 . Пусть . Тогда - собственная подгруппа группы . Тогда

Отсюда . А это значит, что . Итак, . Так как , то по лемме 2.1 . Лемма доказана.

Лемма. Пусть - непустая наследственная формация. Тогда:

1) если - подгруппа группы и , то -субнормальна в ;

2) если -субнормальна в , - подгруппа группы , то -субнормальна в ;

3) если и -субнормальные подгруппы , то - -субнормальная подгруппа ;

4) если -субнормальна в , а -субнормальна в , то -субнормальна в ;

5) если все композиционные факторы группы принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы является -субнормальной;

6) если - -субнормальная подгруппа группы , то -субнормальна в для любых .

Лемма. Пусть - непустая формация, - подгруппа группы , - нормальная подгруппа из . Тогда:

1) если -субнормальна в , то -субнормальна в и -субнормальна в ;

2) если , то -субнормальна в тогда и только тогда, когда -субнормальна в .

3. Формации с решеточным свойством

Лемма [1]. Пусть - наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;

2) группа принадлежит , если , - -субнормальные -подгруппы группы ;

3) - формация Фиттинга и всякая -субнормальная -подгруппа группы содержится в -радикале этой группы.

Установим, что из 1) следует 2).

Пусть - контрпример минимального порядка. В этом случае , где -субнормальная -подгруппа группы , , и не принадлежит . Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы . Все условия леммы для фактор-групп выполняются, поэтому в силу выбора имеем, что . В виду теоремы 4.3 из [7] формация является насыщенной. Поэтому группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и .

Если , то - простая группа. Так как и - -субнормальная подгруппа группы , , то либо , либо . Значит, . Противоречие с выбором группы .

Пусть . Рассмотрим подгруппы и . Так как - собственная -субнормальная подгруппа и , то нетрудно видеть, что - собственная подгруппа , . Покажем, что .

Рассмотрим два случая.

1. Пусть - абелева группа. Тогда - -группа, - простое число. Так как и подгруппа -субнормальна в , то по лемме 2.6 получаем , .

2. Пусть - неабелева группа. В этом случае

есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .

Рассмотрим подгруппу . Так как подгруппа -субнормальна в , то ввиду леммы 2.4 и подгруппа -субнормальна в группе . Пусть

Ввиду леммы 2.5 подгруппа -субнормальна в для любого из . Так как формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то - -субнормальная подгруппа . Кроме того, из следует, что . Если , то . Получили противоречие с . Значит, . Так как нормальна в , то нормальна в . Но

где - неабелева простая группа и для всех . Поэтому

Из и наследственности формации следует, что . Но тогда . Далее, так как , то по лемме 2.5 подгруппа -субнормальна в . Значит, она -субнормальна и в , . Тогда из получаем что

Пусть - добавление к подгруппе в группе . Так как , то . В силу насыщенности формации из

и

получаем, что . Итак, , и .

Используя тождество Дедекинда, имеем

Если предположить, что , то . В этом случае

Так как , то не может быть -субнормальной подгруппой в . Следовательно, можно считать, что , .

Так как подгруппа -субнормальна в группе и , то из наследственности формации следует, что подгруппа -субнормальна в .

Так как формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то - -субнормальная подгруппа группы . Кроме того, из и наследственности формации имеем . Обозначим , , и рассмотрим подгруппу . Если , то , что невозможно ввиду -субнормальности в подгруппы .

Пусть . Из , нормальности в и нормальности в следует, что нормальна в .

Так как

то

Таким образом получаем

Так как , то - подгруппа из . Тогда из -субнормальности в подгрупп и следует, что подгруппа

-субнормальна в . Это невозможно ввиду равенства . Значит, . Противоречие.

Докажем, что из 2) следует 3). Пусть , где - нормальная -подгруппа группы , . Так как

и , то . Из наследственности формации получаем, что подгруппа -субнормальна в . Ввиду леммы 2.6 подгруппа теперь -субнормальна в , . Так как выполняется условие 2) леммы, то

Следовательно, - формация Фиттинга.

Пусть - -субнормальная -подгруппа группы . Ввиду леммы 2.5 подгруппа -субнормальна в для всех . Так как выполняются условия 2) леммы, то

Отсюда следует, что

Наконец установим, что из 3) следует 1). Доказательство проведем индукцией по порядку группы . Пусть и - -субнормальные подгруппы группы и . Если - минимальная нормальная подгруппа группы , то можно считать, что . Учитывая лемму 2.6 по индукции получаем, что - -субнормальная подгруппа группы . На основании леммы 2.6 тогда подгруппа -субнормальна в . Если , то по индукции подгруппа -субнормальна в , и значит, ввиду леммы 2.5 она -субнормальна.

Будем далее считать, что для любой минимальной нормальной подгруппы группы . Ясно, что . Если , то в силу леммы 3.1.3 субнормальна в . Но тогда ввиду [8]

Это означает, что . Противоречие. Значит и . Аналогично доказывается, что . Итак, и .

По условию леммы - формация Фиттинга и , . Следовательно,

Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащейся в . Тогда

Из наследственности формации следует, что - -субнормальная подгруппа группы .

Итак, порождение двух -субнормальных подгрупп и группы -субнормальна в . Ввиду леммы 2.5 - также -субнормальная подгруппа группы . Значит, формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.

Лемма [1]. Пусть - наследственная локальная формация. Если замкнута относительно расширений, то формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

Доказательство леммы следует из теоремы 5 работы [9] и теоремы 3.1.7.

Отметим, что из леммы 3.2 следует, что формации и обладают решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

Пусть обозначают некоторое подмножество множества натуральных чисел. Пусть - некоторое семейство классов групп. Обозначим через класс всех групп , представимых в виде

где и , .

Лемма [1]. Справедливы следующие утверждения:

1) пусть - наследственная локальная формация, обладающая решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Тогда и формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;

2) пусть - некоторое семейство наследственных локальных формаций и для любых . Тогда и только тогда формация

обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда для каждого формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

Пусть формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Ввиду леммы 3.1 и - формации Фиттинга поэтому из леммы 2.1.3 следует, что также является формацией Фиттинга.

Пусть - -субнормальная подгруппа группы и . Ясно, что подгруппа -субнормальна в для любого . Так как и , то ввиду леммы 3.1 получаем, что и . Следовательно,

Теперь утверждение 1 следует из леммы 3.1.

Докажем утверждение 2). Пусть формация

обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Отметим, что . Отсюда ввиду утверждения 1) настоящей леммы и леммы 3.2 следует, что формация обладает решеточным свойством для - субнормальных подгрупп.

Обратно, пусть для любого формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Пусть

Индукцией по порядку группы покажем, что любая группа , где , - -субнормальные -подгруппы группы принадлежат .

Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы . Ввиду леммы 2.6 из соображений индукции получаем, что . Так как - насыщенная формация, то имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и . Ясно, что

Отметим также, что

где - изоморфные простые группы для .

Докажем, что . Рассмотрим группу . Так как подгруппа -субнормальна в , то . Тогда по индукции

Рассмотрим пересечение . Если

то

Отсюда и из того факта, что - нормальная подгруппа и следует, что .

Пусть . Так как - нормальная подгруппа из , то - нормальная подгруппа из . А это значит, что

Из наследственности формации и получаем, что . Но тогда .

Из строения и

для любых , следует, что для некоторого . Так как

то нетрудно видеть, что группа имеeт -холловскую подгруппу .

Так как , то - -субнормальная подгруппа группы . Так как , и , - -субнормальные подгруппы, то по индукции имеем, что

Отсюда и из ввиду получаем . Аналогично доказывается, что . Таким образом,

Отсюда и из -субнормальности и в нетрудно заметить, что , - -субнормальные подгруппы группы . Из и ввиду наследственности следует, что и . Так как по условию формация обладает решеточным свойством для - субнормальных подгрупп, то ввиду леммы 3.1

Итак, содержит некоторую группу , где , - -субнормальные -подгруппы группы . Следовательно, ввиду леммы 3.1 формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.

Лемма [1]. Пусть - нормально наследственная разрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если в каждой разрешимой группе все -субнормальные подгруппы образуют решетку, то имеет вид

где для любых из ;

2) если - формация из пункта 1), то она обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

1) Покажем, что является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка. Очевидно, что и .

Пусть - максимальный внутренний локальный экран формации . Согласно лемме 2.3

где - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , ( - простое число), а - максимальная подгруппа группы , являющейся минимальной не -группой.

Докажем, что - циклическая -группа для некоторого простого числа . Допустим противное. Тогда в найдутся по крайней мере две несопряженные максимальные подгруппы и . Рассмотрим в подгруппу , . Ясно, что -субнормальна в , . Из , и по лемме 3.1 получаем, что . Получили противоречие с выбором .

Следовательно, - циклическая группа порядка , где - некоторое простое число, , - натуральное число. Допустим, что . Обозначим через - регулярное сплетение циклических групп и соответственно порядков и .

По теореме 6.2.8 из [2] изоморфна некоторой подгруппе группы . Так как и , то ввиду теоремы 2.4 из [5] .

Рассмотрим регулярное сплетение , где . Тогда , где - элементарная абелева -группа. Так как , то . Из

следует что .

Рассмотрим в подгруппы и , где - база сплетения . Ясно, что -субнормальна в , . Кроме того, . Отсюда

Так как , то по лемме 3.1. Получили противоречие.

Следовательно, и - группа Шмидта. Если и , то по лемме 1.1.6 также является группой Шмидта. Таким образом, любая разрешимая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо имеет простой порядок. Тогда по лемме 3.1.12 является наследственной формацией.

Покажем, что формация имеет такой локальный экран , что

p(F)p(F)p(F) Действительно. Пусть - локальный экран формации . Так как для любого простого числа из , то . Покажем обратное.

Пусть - группа минимального порядка из . Так как - наследственная формация и - насыщенная формация, то - минимальная не -группа и . Теперь, согласно лемме 2.3

где - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , причем - -группа, , а - минимальная не -группа. Как показано выше является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.

Пусть - группа простого порядка. Так как , то очевидно, что . Противоречие.

Пусть - группа Шмидта. Тогда - группа простого порядка, причем , . Так как , то очевидно, что

Отсюда следует, что . Получили противоречие. Следовательно .

Итак, и - полный локальный экран формации .

Покажем, что либо для любых простых , .

Вначале докажем, что из следует . Допустим противное. Пусть . Рассмотрим точный неприводимый -модуль над полем , который существует по лемме 18.8 из [6].

Возьмем группу . Так как и имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то ввиду леммы 18.8 из [6] существует точный неприводимый -модуль над полем . Рассмотрим группу

Так как

то . Ясно, что . Так как , то найдется такой, что . Заметим, что . Тогда

Так как , то -субнормальна в и -субнормальна в . По лемме 3.1 . Получили противоречие. Таким образом, если , то .

Пусть теперь . Тогда . Предположим, что найдется такое простое число , которое не принадлежит . Рассмотрим точный неприводимый -модуль над полем .

Группа принадлежит ввиду и . Теперь рассмотрим точный неприводимый -модуль . Группа формации не принадлежит, так как . Ясно, что . Рассуждая как и выше, можно показать, что для некоторого , причем подгруппы , -субнормальны в , причем , принадлежат . Отсюда по лемме 3.1 . Получили противоречие.

Следовательно, если , то , а значит . Более того, если

где и , то и , а значит, .

Таким образом, множество можно разбить в объединение непересекающихся подмножеств, т.е. представить в виде , где для любых из и для . Покажем, что

Обозначим

Так как для любого имеет место , то включение очевидно.

Допустим, что множество непусто, и выберем в нем группу наименьшего порядка. Так как - наследственная формация, то . Группа непримарна в силу равенства и локальности формации . Из строения

и нетрудно показать, что - группа Шмидта. Ясно, что . Тогда по теореме 26.1 из [5] , где - элементарная абелева -группа, - некоторые простые числа. Так как , то

Как показано выше, для некоторого номера . Но тогда . Получили противоречие с выбором . Следовательно,

где для всех .

Утверждение 2) следует из лемм 3.2 и 3.3. Лемма доказана.

Из доказанной леммы следует, что разрешимая наследственная локальная формация тогда и только тогда обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда

Заключение

В курсовой работе рассмотрены решетки субнормальных и -субнормальных подгрупп. Для построения теории решеток -субнормальных подгруп, аналогичной теории решеток субнормальных подгрупп, разработанной Виландтом, используются свойства минимальных не -групп.

В работе рассматриваются условия, при выполнении которых формация будет обладать решеточным свойством.

Список использованных источников

1. Васильев А.Ф., Каморников С.Ф., Семенчук В.Н. О решетках подгрупп конечных групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры: Тр./ Институт математики АН Украины. - Киев, 1993. - С. 27-54.

2. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1984. - 144 с.

3. Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и логика. - 1979. - Т.18, №3. - С. 348-382.

4. Семенчук В.Н. Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп // Подгрупповое строение конечных групп: Тр./ Ин-т математики АН БССР. - Минск: Наука и техника, 1981. - С. 138-149.

5. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука. - 1978. - 267 с.

6. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука. - 1989. - 256 с.

7. Bryce R.A., Cossey J. Fitting formations of finite solubla groups // Math.Z. - 1972. - V.127, №3. - P.217-233.

8. Gaschьtz W. Zur Theorie der endlichen auflцsbaren Gruppen. - Math. Z., 1963, 80, №4, С. 300-305.

9. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilorverband echt enthalten // Arch. Math. - 1978. - V.30. - P.225-228.

10. Wielandt H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untegruppen // Math.Z. - 1939.-V.45. - P.209-244.














 
Показывать только:
Портфель:
Выбранных работ  


Рубрики по алфавиту:
АБВГДЕЖЗ
ИЙКЛМНОП
РСТУФХЦЧ
ШЩЪЫЬЭЮЯ

 

 

Ключевые слова страницы: Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп | курсовая работа

СтудентБанк.ру © 2021 - Банк рефератов, база студенческих работ, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам, а также отчеты по практике и многое другое - бесплатно.