Курсовая работа
"Решетки субнормальных и -субнормальных подгрупп"
Введение
В теории конечных групп одним из центральных понятий является понятие -субнормальной подгруппы. Изучению свойств субнормальных подгрупп конечных групп положило начало в 1939 г. известная работа Виландта [10], оказавшая огромное влияние на развитие всей теории конечных групп в последующие годы.
В первом разделе курсовой работы изучаются основные положения теории субнормальных подгрупп. Важнейшим достижением данной теории является результат Виландта о том, что множество всех субнормальных подгрупп любой конечной группы образует решетку.
Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп. Хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца [8], вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления - теории формаций.
В теории формаций одним из важнейших понятий является понятие -субнормальных подгрупп, которое является естественным расширением субнормальных подгрупп. Поэтому, конечно, возникает задача о построении теории -субнормальных подгрупп, аналогичной теории субнормальных подгрупп Виландта.
Во втором разделе курсовой работы рассматриваются минимальные не -группы.
В третьем разделе приводится описание локальных наследственных формаций, обладающих решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.
1. Субнормальные подгпруппы и их свойства
Определение. Пусть - подгруппа группы . Цепь подгрупп
в которой для любого , ,…, , называется субнормальной -цепью, а число - длиной этой цепи. Наименьшее , при котором существует хотя бы одна субнормальная -цепь длины , называется дефектом подгруппы в и обозначается через .
Определение. Пусть - подгруппа группы . Если существует хотя бы одна субнормальная -цепь, то подгруппа называется субнормальной, обозначается .
Лемма. Если субнормальна в , и субнормальна в , то субнормальна в .
субнормальна в , следовательно, по определению субнормальной подгруппы существует субнормальная -цепь
субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь
Таким образом, мы получили субнормальную -цепь
то есть субнормальна в по определению. Лемма доказана.
Теорема. Если подгруппа субнормальна, но не нормальна в , то существует такой элемент , что
Доказательство. Пусть - дефект подгруппы в группе . Рассмотрим субнормальную -цепь длины :
Из того, что не нормальна в , следует, что . не нормальна и в , иначе мы получаем противоречие с тем, что - дефект подгруппы в группе , так как в этом случае подгруппу в цепи можно было опустить. Поэтому существует элемент такой, что . Теперь имеем
Так как , то . С другой стороны, и , откуда получаем . Теорема доказана.
Определение. Пусть - субнормальная подгруппа дефекта в . Субнормальная -цепь
называется канонической, если для любой субнормальной -цепи
имеет место , , ,…, .
Другими словами, каноническая субнормальная цепь входит почленно в любую другую субнормальную цепь той же длины.
Теорема. Если субнормальна в , то существует единственная каноническая субнормальная -цепь.
Доказательство. Пусть - дефект подгруппы в группе . Будем рассматривать все возможные субнормальные -цепи длины .
все субнормальные -цепи длины ( - второй индекс). Положим . Так как , то для любого , ,…, мы имеем
Таким образом, цепь
является субнормальной -цепью длины и, следовательно, не имеет повторений. Так как при любых и , то теорема доказана.
Теорема. Если субнормальна в и - подгруппа , то пересечение есть субнормальная подгруппа .
Доказательство. Рассмотрим субнормальную -цепь минимальной длины :
Положим . Получаем цепь
Ясно, что она будет субнормальной, так как . Действительно, пусть , значит, и . Тогда для любого , так как и .
Мы получили субнормальную -цепь. Теорема доказана.
Следствие. Пусть и - подгруппы группы . Если субнормальна в и - подгруппа , то субнормальна в .
Доказательство. Пусть и цепь
является субнормальной -цепью.
Положив , получим субнормальную -цепь
что и требовалось.
Теорема. Пусть субнормальна в и субнормальна в . Тогда пересечение есть субнормальная подгруппа в.
Доказательство. Пусть - наибольший из дефектов подгрупп и в группе . Очевидно, существует (возможно, с повторениями) цепи
Положим , , ,…, . Из , следует, что нормальна в . Следовательно, цепь
является субнормальной -цепью, что и доказывает теорему.
Лемма. Если субнормальна в , а - нормальная подгруппа группы , то произведение есть субнормальная подгруппа группы .
Доказательство. субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь
Следовательно, цепь
будет субнормальной.
Действительно, так как и , то . Лемма доказана.
Лемма. Если подгруппы и субнормальны в и , топроизведение есть субнормальная подгруппа группы .
Доказательство. Если нормальна в , то результат следует по лемме 1.9.
Предположим, что не нормальна в , то есть . Будем считать, что теорема верна для субнормальных подгрупп с дефектом меньшим . Таким образом, если и субнормальны в причем и , то по индуктивному предположению субнормальна в .
Пусть - каноническая субнормальная -цепь. Так как нормализует подгруппу , то для любого цепь
будет субнормальной -цепью. По свойству канонической субнормальной -цепи , а значит, для любого , ,…, (по определеделению).
Следовательно, содержится в для любого . Так как и , то по индукции субнормальна в . По следствию 1.7.1 субнормальна в . Так как и , то . Таким образом, , , а значит, по лемме 1.9 подгруппа субнормальна в . К тому же , то мы получаем . Лемма доказана.
Теорема. Если и - субнормальный подгруппы группы , то есть также субнормальная подгруппа .
Доказательство. Положим . Среди субнормальных подгрупп группы , содержащихся в , выберем подгруппу , имеющю наибольший порядок. По следствию 1.7.1 субнормальна в . Докажем, что нормальна в . Предположим противное, то есть что не нормальна в . Тогда по теореме 1.4 найдется такой элемент , что , и . Так как субнормальна в и , то субнормальна в . Получается следующая ситуация: и субнормальны в , . По лемме 1.10 субнормальна в . Ввиду выбора отсюда следует , что противоречит .
Итак, нормальна в , а значит, и нормализуют подгруппу . По лемме 1.10 и субнормальны в . Так как и , то ввиду выбора получаем . Следовательно, , откуда вытекает, что . Теорема доказана.
Объединим теоремы 1.8 и 1.11 в один результат.
Теорема (Виландт). Множество всех субнормальных подгрупп группы образует подрешетку решетки .
Отметим одно часто используемое приложение теорем 1.4 и 1.12.
Теорема. Пусть - некоторое непустое множество субнормальных подгрупп группы , удовлетворяющее следующим условиям:
1) если и , то ;
2) если , , , , то .
Тогда для любой подгруппы .
Доказательство. Возьмем произвольную подгруппу из . Если не нормальна в , то по теореме 1.4 найдется такой элемент , что , , . По условиям 1) и 2) , . Если не нормальна в , то найдется такой, что , , . Тогда и . Если не нормальна, то описанную процедуру применяем к . Так как конечна, то этот процесс завершится построением нормальной подгруппы , представимой в виде , где - некоторые элементы из . Очевидно, , и теорема доказана.
Следствие. Если - непустой радикальный класс, то содержит все субнормальные -подгруппы группы .
Доказательство. Пусть - множество всех субнормальных -подгрупп из . Ввиду теоремы 1.12 легко заметить, что удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 1.13.
Следствие. Для любой субнормальной подгруппы группы справедливы следующие утверждения:
1) если - -группа, то ;
2) если нильпотентна, то ;
3) если -нильпотентна, то ;
4) если разрешима, то .
2. Минимальные не -группы
Лемма [3]. Пусть , где - локальная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) группа монолитична с монолитом
2) - -группа для некоторого простого ;
3) - -эксцентральный главный фактор ;
4) ;
5) если группа неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппы Фраттини совпадают и имеют экспоненту ;
6) если абелева, то она элементарна;
7) если , то - экспонента ; при экспонента не превышает 4;
8) для любой -абнормальной максимальной подгруппы из имеет место
9) любые две -абнормальные максимальные подгруппы группы сопряжены в ;
10) если и подгруппа содержит , то для любого полного локального экрана формации ;
11) если - -абнормальная максимальная подгруппа группы и - некоторый полный локальный экран , то - минимальная не -группа и либо , либо .
Доказательство. 1) Пусть - минимальная нормальная подгруппа из такая, что . Очевидно, что . Противоречие. Итак, - минимальная нормальная подгруппа . Так как - формация, то, нетрудно заметить, что - единственная минимальная нормальная подгруппа из . А это значит, что
Отсюда следует, что
2) Выше мы показали, что - главный -фактор. Покажем, что - -группа. Предположим противное. Пусть простое число делит , но не делит . По лемме 4.4 из [5] , где - содержащаяся в силовская -подгруппа из . Тогда
Отсюда и из насыщенности получим . Но тогда , что невозможно.
Пусть - главный фактор группы . Ввиду 2) является -группой и . Следовательно, каждая -абнормальная масимальная подгруппа группы является -нормализатором группы . Так как -нормализатор группы покрывает только -центральные главные факторы, то мы получаем, что -гиперцентральна в . Согласно следствию 9.3.1 из [5] . Отсюда следует, что , т.е. .
Обозначим через коммутант группы . Так как - -корадикал группы , то по теореме 11.6 из [5] каждый главный фактор группы на участке от до -эксцентрален. Отсюда и из -гиперцентральности заключаем, что . Так как
то мы получаем тaкже рaвенство . Таким образом, утверждения 2) - 6), 9) доказаны.
Докажем 7). Предположим, что неабелева. Пусть - произвольный элемент из . Ввиду 4) , причем . Следовательно,
для всех элементов , из . Это означает, что имеет экспоненту . Учитывая это и то, что содержится в , получаем для любых , из при :
Значит, отображение является -эндоморфизмом группы . Так как
то -гиперцентральна в . Вспоминая, что - -эксцентральный главный фактор, получаем равенство . Так как имеет экспоненту , то утверждение 7) при доказано.
Пусть . Тогда
где . Рассматривая отображение как и выше получаем, что . Значит имеет экспоненту не больше 4.
Докажем 8). Выше мы доказали, что . Пусть . Тогда в найдется такая максимальная подгруппа , что . Так как , то . Отсюда . Противоречие. Итак, . По теореме 9.4 из [5] имеем для любой -абнормальной максимальной подгруппы группы . Нетрудно показать, что .
По теореме 7.11 из [5],
Так как , то
Ввиду того, что и - главный фактор , имеем . Итак, . Пусть - любая -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда . Ясно, что
Не ограничивая общности, положим . Тогда - единственная минимальная нормальная подгруппа . Легко видеть, что и . Но - -группа. Значит, . По условию . Следовательно, ввиду полноты экрана имеет место
то . Таким образом, всякая собственная подгруппа группы принадлежит . Допустим, что . Тогда
и поэтому . Полученное противоречие показывает, что , т.е. - минимальная не -группа.
Предположим теперь, что . Покажем, что . Не теряя общности, можно положить, что . Тогда , . Пусть , где и , где . Для всякого через обозначим подгруппу . Предположим, что все отличны от . Так как , то - дополнение к в . Если для всех различных и , то
и поэтому . Противоречие. Значит для некоторых различных и . Из последнего вытекает
что невозможно. Полученное противоречие показывает, что для некоторого и, следовательно, . Лемма доказана.
Лемма [4]. Пусть - наследственная локальная формация, - такая нормальная подгруппа группы , что . Тогда равносильно .
Доказательство. Пусть . Тогда , и если - произвольная максимальная подгруппа , то , а значит, и принадлежит . Следовательно, .
Предположим теперь, что . Понятно, что .Пусть - произвольная максимальная подгруппа , тогда . Пусть - произвольный -главный фактор из . Обозначим . Пусть - максимальный внутренний локальный экран формации , и пусть . Так как , то . Покажем, что . По лемме 8.7 из [6] формация наследственна. Следовательно, если , то сразу получим . Если же , то вытекает из изоморфизма . Итак, всякий -главный фактор из , -централен в . Значит, . Таким образом, . Лемма доказана.
Лемма [3]. Пусть - локальная наследственная формация, - некоторый ее полный экран. Группа принадлежит тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
1) ;
2) , где - главный -фактор группы , - минимальная не -группа.
Доказательство. Необходимость вытекает из леммы 2.1.
Достаточность. Пусть и - произвольные максимальные подгруппы . Покажем, что . Если -абнормальна, то ввиду леммы 2.1 имеем . Значит, . Пусть . По условию
Следовательно, и по лемме 2.1 - -группа. Значит по лемме 8.2 из [6] . Итак, . Применяя теперь лемму 2.1 получаем, что . Лемма доказана.
Лемма [3]. Пусть - локальная формация, имеющая постоянный наследственный локальный экран . Тогда справедливы следующие утверждения:
1) для любого из ;
2) тогда и только тогда, когда для любого из , - главный фактор , .
Доказательство. 1) Пусть - произвольная группа из . Покажем, что . Предположим противное. Пусть - подгруппа наименьшего порядка из , не принадлежащая . Очевидно, что . Так как - постоянный экран, то ввиду леммы 4.5 из [5] для любого из . Если , то из того, что следует . Получили противоречие. Итак, - собственная подгруппа из . Но тогда , что невозможно.
2) Пусть . Покажем, что . Так как
то, не ограничивая общности, можно считать, что . Пусть - произвольная -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда по лемме 2.1 , где . Очевидно, что . Отсюда следует, что - -группа. Так как и - постоянный экран, то . Пусть - произвольная собственная подгруппа из . Так как формация наследственна, то . Кроме того, . Отсюда . Следовательно,
Если теперь , то . Отсюда нетрудно заметить, что . Противоречие. Итак, . Из леммы 2.1 следует, что
есть главный -фактор группы .
Пусть теперь . Очевидно, что . Пусть - собственная подгруппа из .Рассмотрим подгруппу . Если , то тогда
Согласно пункту 1 . Пусть . Тогда - собственная подгруппа группы . Тогда
Отсюда . А это значит, что . Итак, . Так как , то по лемме 2.1 . Лемма доказана.
Лемма. Пусть - непустая наследственная формация. Тогда:
1) если - подгруппа группы и , то -субнормальна в ;
2) если -субнормальна в , - подгруппа группы , то -субнормальна в ;
3) если и -субнормальные подгруппы , то - -субнормальная подгруппа ;
4) если -субнормальна в , а -субнормальна в , то -субнормальна в ;
5) если все композиционные факторы группы принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы является -субнормальной;
6) если - -субнормальная подгруппа группы , то -субнормальна в для любых .
Лемма. Пусть - непустая формация, - подгруппа группы , - нормальная подгруппа из . Тогда:
1) если -субнормальна в , то -субнормальна в и -субнормальна в ;
2) если , то -субнормальна в тогда и только тогда, когда -субнормальна в .
3. Формации с решеточным свойством
Лемма [1]. Пусть - наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;
2) группа принадлежит , если , - -субнормальные -подгруппы группы ;
3) - формация Фиттинга и всякая -субнормальная -подгруппа группы содержится в -радикале этой группы.
Установим, что из 1) следует 2).
Пусть - контрпример минимального порядка. В этом случае , где -субнормальная -подгруппа группы , , и не принадлежит . Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы . Все условия леммы для фактор-групп выполняются, поэтому в силу выбора имеем, что . В виду теоремы 4.3 из [7] формация является насыщенной. Поэтому группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и .
Если , то - простая группа. Так как и - -субнормальная подгруппа группы , , то либо , либо . Значит, . Противоречие с выбором группы .
Пусть . Рассмотрим подгруппы и . Так как - собственная -субнормальная подгруппа и , то нетрудно видеть, что - собственная подгруппа , . Покажем, что .
Рассмотрим два случая.
1. Пусть - абелева группа. Тогда - -группа, - простое число. Так как и подгруппа -субнормальна в , то по лемме 2.6 получаем , .
2. Пусть - неабелева группа. В этом случае
есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .
Рассмотрим подгруппу . Так как подгруппа -субнормальна в , то ввиду леммы 2.4 и подгруппа -субнормальна в группе . Пусть
Ввиду леммы 2.5 подгруппа -субнормальна в для любого из . Так как формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то - -субнормальная подгруппа . Кроме того, из следует, что . Если , то . Получили противоречие с . Значит, . Так как нормальна в , то нормальна в . Но
где - неабелева простая группа и для всех . Поэтому
Из и наследственности формации следует, что . Но тогда . Далее, так как , то по лемме 2.5 подгруппа -субнормальна в . Значит, она -субнормальна и в , . Тогда из получаем что
Пусть - добавление к подгруппе в группе . Так как , то . В силу насыщенности формации из
и
получаем, что . Итак, , и .
Используя тождество Дедекинда, имеем
Если предположить, что , то . В этом случае
Так как , то не может быть -субнормальной подгруппой в . Следовательно, можно считать, что , .
Так как подгруппа -субнормальна в группе и , то из наследственности формации следует, что подгруппа -субнормальна в .
Так как формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то - -субнормальная подгруппа группы . Кроме того, из и наследственности формации имеем . Обозначим , , и рассмотрим подгруппу . Если , то , что невозможно ввиду -субнормальности в подгруппы .
Пусть . Из , нормальности в и нормальности в следует, что нормальна в .
Так как
то
Таким образом получаем
Так как , то - подгруппа из . Тогда из -субнормальности в подгрупп и следует, что подгруппа
-субнормальна в . Это невозможно ввиду равенства . Значит, . Противоречие.
Докажем, что из 2) следует 3). Пусть , где - нормальная -подгруппа группы , . Так как
и , то . Из наследственности формации получаем, что подгруппа -субнормальна в . Ввиду леммы 2.6 подгруппа теперь -субнормальна в , . Так как выполняется условие 2) леммы, то
Следовательно, - формация Фиттинга.
Пусть - -субнормальная -подгруппа группы . Ввиду леммы 2.5 подгруппа -субнормальна в для всех . Так как выполняются условия 2) леммы, то
Отсюда следует, что
Наконец установим, что из 3) следует 1). Доказательство проведем индукцией по порядку группы . Пусть и - -субнормальные подгруппы группы и . Если - минимальная нормальная подгруппа группы , то можно считать, что . Учитывая лемму 2.6 по индукции получаем, что - -субнормальная подгруппа группы . На основании леммы 2.6 тогда подгруппа -субнормальна в . Если , то по индукции подгруппа -субнормальна в , и значит, ввиду леммы 2.5 она -субнормальна.
Будем далее считать, что для любой минимальной нормальной подгруппы группы . Ясно, что . Если , то в силу леммы 3.1.3 субнормальна в . Но тогда ввиду [8]
Это означает, что . Противоречие. Значит и . Аналогично доказывается, что . Итак, и .
По условию леммы - формация Фиттинга и , . Следовательно,
Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащейся в . Тогда
Из наследственности формации следует, что - -субнормальная подгруппа группы .
Итак, порождение двух -субнормальных подгрупп и группы -субнормальна в . Ввиду леммы 2.5 - также -субнормальная подгруппа группы . Значит, формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1]. Пусть - наследственная локальная формация. Если замкнута относительно расширений, то формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.
Доказательство леммы следует из теоремы 5 работы [9] и теоремы 3.1.7.
Отметим, что из леммы 3.2 следует, что формации и обладают решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.
Пусть обозначают некоторое подмножество множества натуральных чисел. Пусть - некоторое семейство классов групп. Обозначим через класс всех групп , представимых в виде
где и , .
Лемма [1]. Справедливы следующие утверждения:
1) пусть - наследственная локальная формация, обладающая решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Тогда и формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;
2) пусть - некоторое семейство наследственных локальных формаций и для любых . Тогда и только тогда формация
обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда для каждого формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.
Пусть формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Ввиду леммы 3.1 и - формации Фиттинга поэтому из леммы 2.1.3 следует, что также является формацией Фиттинга.
Пусть - -субнормальная подгруппа группы и . Ясно, что подгруппа -субнормальна в для любого . Так как и , то ввиду леммы 3.1 получаем, что и . Следовательно,
Теперь утверждение 1 следует из леммы 3.1.
Докажем утверждение 2). Пусть формация
обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Отметим, что . Отсюда ввиду утверждения 1) настоящей леммы и леммы 3.2 следует, что формация обладает решеточным свойством для - субнормальных подгрупп.
Обратно, пусть для любого формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Пусть
Индукцией по порядку группы покажем, что любая группа , где , - -субнормальные -подгруппы группы принадлежат .
Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы . Ввиду леммы 2.6 из соображений индукции получаем, что . Так как - насыщенная формация, то имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и . Ясно, что
Отметим также, что
где - изоморфные простые группы для .
Докажем, что . Рассмотрим группу . Так как подгруппа -субнормальна в , то . Тогда по индукции
Рассмотрим пересечение . Если
то
Отсюда и из того факта, что - нормальная подгруппа и следует, что .
Пусть . Так как - нормальная подгруппа из , то - нормальная подгруппа из . А это значит, что
Из наследственности формации и получаем, что . Но тогда .
Из строения и
для любых , следует, что для некоторого . Так как
то нетрудно видеть, что группа имеeт -холловскую подгруппу .
Так как , то - -субнормальная подгруппа группы . Так как , и , - -субнормальные подгруппы, то по индукции имеем, что
Отсюда и из ввиду получаем . Аналогично доказывается, что . Таким образом,
Отсюда и из -субнормальности и в нетрудно заметить, что , - -субнормальные подгруппы группы . Из и ввиду наследственности следует, что и . Так как по условию формация обладает решеточным свойством для - субнормальных подгрупп, то ввиду леммы 3.1
Итак, содержит некоторую группу , где , - -субнормальные -подгруппы группы . Следовательно, ввиду леммы 3.1 формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1]. Пусть - нормально наследственная разрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если в каждой разрешимой группе все -субнормальные подгруппы образуют решетку, то имеет вид
где для любых из ;
2) если - формация из пункта 1), то она обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.
1) Покажем, что является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка. Очевидно, что и .
Пусть - максимальный внутренний локальный экран формации . Согласно лемме 2.3
где - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , ( - простое число), а - максимальная подгруппа группы , являющейся минимальной не -группой.
Докажем, что - циклическая -группа для некоторого простого числа . Допустим противное. Тогда в найдутся по крайней мере две несопряженные максимальные подгруппы и . Рассмотрим в подгруппу , . Ясно, что -субнормальна в , . Из , и по лемме 3.1 получаем, что . Получили противоречие с выбором .
Следовательно, - циклическая группа порядка , где - некоторое простое число, , - натуральное число. Допустим, что . Обозначим через - регулярное сплетение циклических групп и соответственно порядков и .
По теореме 6.2.8 из [2] изоморфна некоторой подгруппе группы . Так как и , то ввиду теоремы 2.4 из [5] .
Рассмотрим регулярное сплетение , где . Тогда , где - элементарная абелева -группа. Так как , то . Из
следует что .
Рассмотрим в подгруппы и , где - база сплетения . Ясно, что -субнормальна в , . Кроме того, . Отсюда
Так как , то по лемме 3.1. Получили противоречие.
Следовательно, и - группа Шмидта. Если и , то по лемме 1.1.6 также является группой Шмидта. Таким образом, любая разрешимая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо имеет простой порядок. Тогда по лемме 3.1.12 является наследственной формацией.
Покажем, что формация имеет такой локальный экран , что
p(F)p(F)p(F) Действительно. Пусть - локальный экран формации . Так как для любого простого числа из , то . Покажем обратное.
Пусть - группа минимального порядка из . Так как - наследственная формация и - насыщенная формация, то - минимальная не -группа и . Теперь, согласно лемме 2.3
где - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , причем - -группа, , а - минимальная не -группа. Как показано выше является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.
Пусть - группа простого порядка. Так как , то очевидно, что . Противоречие.
Пусть - группа Шмидта. Тогда - группа простого порядка, причем , . Так как , то очевидно, что
Отсюда следует, что . Получили противоречие. Следовательно .
Итак, и - полный локальный экран формации .
Покажем, что либо для любых простых , .
Вначале докажем, что из следует . Допустим противное. Пусть . Рассмотрим точный неприводимый -модуль над полем , который существует по лемме 18.8 из [6].
Возьмем группу . Так как и имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то ввиду леммы 18.8 из [6] существует точный неприводимый -модуль над полем . Рассмотрим группу
Так как
то . Ясно, что . Так как , то найдется такой, что . Заметим, что . Тогда
Так как , то -субнормальна в и -субнормальна в . По лемме 3.1 . Получили противоречие. Таким образом, если , то .
Пусть теперь . Тогда . Предположим, что найдется такое простое число , которое не принадлежит . Рассмотрим точный неприводимый -модуль над полем .
Группа принадлежит ввиду и . Теперь рассмотрим точный неприводимый -модуль . Группа формации не принадлежит, так как . Ясно, что . Рассуждая как и выше, можно показать, что для некоторого , причем подгруппы , -субнормальны в , причем , принадлежат . Отсюда по лемме 3.1 . Получили противоречие.
Следовательно, если , то , а значит . Более того, если
где и , то и , а значит, .
Таким образом, множество можно разбить в объединение непересекающихся подмножеств, т.е. представить в виде , где для любых из и для . Покажем, что
Обозначим
Так как для любого имеет место , то включение очевидно.
Допустим, что множество непусто, и выберем в нем группу наименьшего порядка. Так как - наследственная формация, то . Группа непримарна в силу равенства и локальности формации . Из строения
и нетрудно показать, что - группа Шмидта. Ясно, что . Тогда по теореме 26.1 из [5] , где - элементарная абелева -группа, - некоторые простые числа. Так как , то
Как показано выше, для некоторого номера . Но тогда . Получили противоречие с выбором . Следовательно,
где для всех .
Утверждение 2) следует из лемм 3.2 и 3.3. Лемма доказана.
Из доказанной леммы следует, что разрешимая наследственная локальная формация тогда и только тогда обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда
Заключение
В курсовой работе рассмотрены решетки субнормальных и -субнормальных подгрупп. Для построения теории решеток -субнормальных подгруп, аналогичной теории решеток субнормальных подгрупп, разработанной Виландтом, используются свойства минимальных не -групп.
В работе рассматриваются условия, при выполнении которых формация будет обладать решеточным свойством.
Список использованных источников
1. Васильев А.Ф., Каморников С.Ф., Семенчук В.Н. О решетках подгрупп конечных групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры: Тр./ Институт математики АН Украины. - Киев, 1993. - С. 27-54.
2. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1984. - 144 с.
3. Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и логика. - 1979. - Т.18, №3. - С. 348-382.
4. Семенчук В.Н. Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп // Подгрупповое строение конечных групп: Тр./ Ин-т математики АН БССР. - Минск: Наука и техника, 1981. - С. 138-149.
5. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука. - 1978. - 267 с.
6. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука. - 1989. - 256 с.
7. Bryce R.A., Cossey J. Fitting formations of finite solubla groups // Math.Z. - 1972. - V.127, №3. - P.217-233.
8. Gaschьtz W. Zur Theorie der endlichen auflцsbaren Gruppen. - Math. Z., 1963, 80, №4, С. 300-305.
9. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilorverband echt enthalten // Arch. Math. - 1978. - V.30. - P.225-228.
10. Wielandt H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untegruppen // Math.Z. - 1939.-V.45. - P.209-244.
|
Заказать