Метод конечных разностей, или метод сеток
Рассмотрим линейную краевую задачу
(2.24)
(2.25)
,
где , , и непрерывны на [a, b].
Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длины, или шага
.
Точки разбиения
,
называются узлами, а их совокупность - сеткой на отрезке [a, b]. Значения в узлах искомой функции и ее производных обозначим соответственно через
.
Введем обозначения
Заменим производные так называемыми односторонними конечно-разностными отношениями:
(2.26)
Формулы (2.26) приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала [a, b].
Для граничных точек положим
. (2.27)
Используя формулы (2.26), дифференциальное уравнение (2.24) при , (i=1, 2,..., n-1) приближенно можно заменить линейной системой уравнений
(2.28)
Кроме того, в силу формул (2.27) краевые условия (2.25) дополнительно дают еще два уравнения:
. (2.29)
Таким образом, получена линейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными , представляющими собой значения искомой функции в узлах сетки. Система уравнений (2.28), (2.29), заменяющая приближенно дифференциальную краевую задачу (2.24), (2.25) обычно называется разностной схемой. Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема (2.28), (2.29) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальным методом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том, что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системы является трехдиагональной.
Преобразуем уравнения (2.28):
. (2.30)
Введя обозначения
получим
, (i=0, 1,..., n-2). (2.31)
Краевые условия по-прежнему запишем в виде
. (2.32)
Метод прогонки состоит в следующем.
Разрешим уравнение (2.31) относительно :
. (2.33)
Предположим, что с помощью полной системы (2.31) из уравнения исключен член, содержащий. Тогда уравнение (2.33) может быть записано в виде
, (2.34)
где и должны быть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i=0 из формулы (2.33) и краевых условий (2.32) следует, что
Исключая из этих двух уравнений , найдем
.
Выразим теперь отсюда :
(2.35)
Но, согласно формуле (2.34),
(2.36)
Сравнивая теперь (2.35) и (2.36), найдем, что
(2.37)
Пусть теперь i >0, то есть i=1, 2,..., n-2. Выражая по формуле (2.34), получим:
.
Подставляя это в формулу (2.33), будем иметь
.
Разрешая полученное уравнение относительно, находим
, или
. (2.38)
Отсюда, сравнивая формулы (2.34) и (2.38), получаем для коэффициентов и рекуррентные формулы:
(2.39)
Так как и уже определены по формулам (2.37), то, используя формулы (2.39), можно последовательно определить коэффициенты и до и включительно. Эти вычисления называются прямым ходом метода прогонки.
Из формулы (2.33) при i=n-2 и второго краевого условия (2.32) получаем
Разрешая эту систему относительно, будем иметь
. (2.40)
Теперь, используя (2.34) и первое краевое условие (2.32), мы можем последовательно найти . Это ? обратный ход метода прогонки.
Итак, получаем следующую цепочку:
(2.41)
Для простейших краевых условий
формулы для и упрощаются. Полагая в этом случае из формул (2.37), (2.40), (2.41) будем иметь
Рассмотренный нами подход сводит линейную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений. При этом возникает три вопроса.
1) Существует ли решение алгебраической системы типа (2.31)?
2) Как фактически находить это решение?
3) Сходится ли разностное решение к точному при стремлении шага сетки к 0?
Можно доказать, что если краевая задача имеет вид
причем р(x)>0, то решение системы (2.31), (2.32) существует и единственно. Фактическое отыскание решения можно провести, например, методом прогонки. На третий вопрос дает ответ следующая
Теорема
Если и дважды непрерывно дифференцируемы, то разностное решение, соответствующее схеме с заменой
равномерно сходится к точному с погрешностью при
Таким образом, схема (2.28), (2.29) дает приближенное решение краевой задачи, но точность ее весьма мала. Это связано с тем, что аппроксимация производной
имеет низкий порядок точности ? погрешность этой аппроксимации
Более точную разностную схему можно получить, если при переходе от линейной краевой задачи к конечно-разностным уравнениям воспользоваться центральными формулами для производных:
, (2.42)
, (2.43)
i=1, 2,..., n.
Погрешность формулы (2.42) выражается так:
то есть формула (2.42) имеет второй порядок точности относительно шага сетки h. Подставляя выражения (2.42), (2.43) в задачу (2.24), (2.25) и выполняя некоторые преобразования, получим следующую систему:
(2.44)
Где .
Система (2.44) снова трехдиагональная и ее решение также можно получить методом прогонки. Его алгоритм здесь будет выглядеть так. Сначала находят коэффициенты
(2.45)
Затем определяют коэффициенты по следующим рекуррентным формулам:
(2.46)
Обратный ход начинается с нахождения :
(2.47)
После этого находим по формулам:
, (2.48)
. (2.49)
Относительно схемы (2.44) можно также доказать, что она имеет единственное решение при
и ,
и это решение может быть найдено описанным методом прогонки. Кроме того, для схемы (2.44) имеет место
Теорема
Пусть решение граничной задачи (2.24), (2.25) единственно и непрерывно дифференцируемо на [a, b] до четвертого порядка точности включительно. Если выполняются условия
, ,
то схема (2.44) будет равномерно сходиться к решению задачи (2.24), (2.25) с погрешностью .
Заметим, что условия, приводимые в теоремах, являются достаточными, а отнюдь не необходимыми. Поэтому в практике численных расчетов нарушение этих условий обычно не вызывает заметного ухудшения расчетных схем.
|
