Автор инженер-механик
Козий Николай Михайлович
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn + Вn = Сn, (1)
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
Аn = Сn - Вn (2)
Для доказательства великой теоремы Ферма предварительно докажем вспомогательную теорему (лемму).
ЛЕММА: Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел:
Nn = U2 - V2 (3)
Уравнение (3) рассматриваем как параметрическое с параметром Nn и неизвестными переменными U и V. Уравнение (3) запишем следующим образом:
Nn = U2 - V2 = (U-V)•(U+V) (4)
Пусть: U - V=M (5)
Тогда: U = V + M (6)
Из уравнений (4), (5) и (6) имеем:
Nn=M• (V+M+V)=M•(2V+M) = 2V•M+M2 (7)
Из уравнения (7) имеем:
Nn - M2=2V•M (8)
Отсюда: V = (9)
Из уравнений (6) и (9) имеем:
U = (10)
Из уравнений (9) и (10) следует, что необходимым условием для того чтобы числа U и V были целыми, является одинаковая четность чисел Nn и M: оба числа должны быть четными или оба нечетными.
Из уравнений (9) и (10) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа U и V были целыми, является делимость числа Nn на число M , т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа Nn. Следовательно, должно быть:
Nn =D·M (11)
где D - натуральное простое или составное число.
С помощью уравнений (9) и (10) определяются числа U и V, удовлетворяющие условиям уравнения (3).
Отсюда следует:
Следствие 1-е: Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел.
Следствие 2-е: Число N=2 в степени n?3 равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел:
Следствие 3-е: Любое составное натуральное число в любой степени равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел:
Доказательство теоремы Ферма
С учетом доказанной леммы можно записать:
Nn = Аn = U2 - V2 (12)
Допустим, что великая теорема Ферма имеет решение в натуральных числах. Тогда с учетом уравнений (2) и (11) должны выполняться равенства:
Nn = D·M =Аn = Сn - Вn = U2 - V2 (13)
Вn = V2 (14)
Cn = U2 = (15)
В (16)
C (17)
В соответствии с формулами (13) и (14) число Вn равно:
Вn = (18)
Из уравнения (15) с учетом уравнения (13) следует:
Cn = (19)
Из уравнений (18) и (19) имеем:
В (20)
C (21)
Если допустить, что в соответствии с уравнением (20) В - целое число, то из уравнения (21) с очевидностью следует, что C - дробное число.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных (натуральных) числах.
|
