|
|
группа
|
|
|
является подгруппой группы
|
|
|
является нормальной подгруппой группы
|
|
|
прямое произведение подгрупп и
|
|
|
подгруппа Фраттини группы
|
|
|
фактор-группа группы по
|
|
|
множество всех простых делителей натурального числа
|
|
|
множество всех простых делителей порядка группы
|
|
|
коммутант группы
|
|
|
индекс подгруппы в группе
|
|
|
- 2. Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами
- Конечная группа называется -разложимой для простого числа , если силовская -подгруппа выделяется в ней прямым множителем. Нильпотентная группа -разложима для каждого . Через обозначается множество всех простых делителей порядка группы .
- Теорема Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Если подгруппы и -разложимы для каждого , то разрешима.
- Теорема (1) обобщает известную теорему Виландта-Кегеля о разрешимости конечной группы, являющейся произведением нильпотентных подгрупп .
- Для доказательства теоремы (2) нам потребуется следующая лемма(3), которая несколько уточняет лемму Кегеля(4). Напомним, что --- центр , а если --- подгруппа группы , то --- наименьшая нормальная в подгруппа, содержащая . Группа называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа нормальна.
- Лемма Пусть и --- подгруппы конечной группы , обладающие следующими свойствами:
- 1) для всех ;
- 2) , где .
- Тогда .
- Доказательство. Воспользуемся методом доказательства леммы Кегеля. Пусть --- наибольшая -подгруппа, содержащая и перестановочная с каждой подгруппой, сопряженной с . Предположим, что не содержится в . Это означает, что существуют элементы и такие, что не принадлежит . Поэтому --- собственная подгруппа в и есть -группа. Кроме того, перестановочна с каждой сопряженной с подгруппой, так как этим свойством обладает . Теперь для всех , что противоречит выбору .
- Итак, . Значит, и --- нормальная в -подгруппа. Из условия 2) следует, что и . Так как и , то . Поэтому .
- Лемма Пусть конечная группа с -замкнутыми подгруппами и . Если , то .
- Доказательство. Так как , то для всех , . Первое условие леммы (5) выполнено. Так как выполняется и второе, то .
- Секцией группы называется фактор-группа некоторой подгруппы из . Если не содержит секций, изоморфных симметрической группе четырех символов, то называется -свободной.
- Лемма Если конечная группа не является -свободной, то существуют -подгруппы и такие, что нормальна в и .
- Доказательство. По условию в группе существует секция , изоморфная . Пусть --- нормальная в подгруппа индекса , содержащая подгруппу с индексом . По лемме Фраттини , где --- силовская -подгруппа из , Так как имеет индекс в силовской -подгруппе из , то разрешима и содержит -холловскую подгруппу . Кроме того, и .
- Лемма Конечная группа, содержащая нильпотентную -холловскую подгруппу, -разрешима.
- Доказательство. Достаточно показать непростоту группы в случае, когда делит . Предположим, что простая и делит . В -свободных группах нет нильпотентных -холловских подгрупп , отличных от -силовской. Если не -свободна, то по лемме существует ненильпотентная -подгруппа. Это противоречит теореме Виландта . Лемма доказана.
- Через обозначим произведение всех разрешимых нормальных в подгрупп.
- Лемма Пусть конечная группа и пусть разрешима, а взаимно прост с . Если в существует нилъпотентная -холловская подгруппа, то разрешима.
- Доказательство. Если --- -группа, то разрешима по лемме Сыскина(2). Пусть делит и --- минимальная нормальная в подгруппа. Если , то и разрешима по индукции, поэтому разрешима и . Пусть . Тогда и имеет порядок взаимно простой с . Значит нильпотентная -холловская подгруппа из содержится в и -разрешима по лемме(2). Из минимальности следует, что разрешима. Итак, в любом случае содержит разрешимую нормальную подгруппу . Фактор-группа удовлетворяет условиям леммы и по индукции разрешима. Поэтому разрешима и . Лемма доказана.
- Теорема вытекает из следующей более общей теоремы
- Теорема Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Предположим, что и --- -замкнуты для каждого . Если и -разложимы и -разложимы, то разрешима.
- Доказательство индукцией по порядку . Пусть --- минимальная нормальная в подгруппа. Фактор-группа , а подгруппы и будут - и -разложимыми и -замкнутыми для каждого . По индукции разрешима, а неразрешима. Поэтому и . Следовательно, в единственная минимальная нормальная подгруппа.
- Пусть и пусть и --- силовские -подгруппы из и соответственно. Так как и р-замкнуты и , то по лемме . Но содержит точно одну минимальную нормальную подгруппу. Поэтому либо , либо . Итак для каждого , либо не делит , либо не делит . Следовательно, порядки и взаимно просты. Но теперь --- простая группа.
- Так как группа Судзуки нефакторизуема(4), то по теореме Глаубермана (4)порядок делится на , а по теореме Фомина (2) порядок одного из факторов, пусть порядок , делится на . Теперь в существует нильпотентная -холловская подгруппа. По лемме (3)группа разрешима. Теорема доказана.
3. О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта
Пусть конечная группа является произведением двух своих подгрупп и , причем есть группа Шмидта, т. е. ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Признаки разрешимости группы при дополнительных ограничениях на подгруппы и получили Б. Хупперт(2), В. А. Ведерников(4), И. П. Докторов(4), П. И. Трофимов(3). Если дедекиндова, т. е. в все подгруппы инвариантны, то простая группа описана автором в(5). Как сообщил недавно С. А. Сыскин, им изучена простая группа в случае, когда --- нильпотентная группа.
Основным результатом настоящей заметки является
Теорема Пусть есть группа Шмидта, --- 2-разложимая группа, порядки и взаимно просты. Если и --- конечная неразрешимая группа, то , , и --- простое число или для некоторого простого .
обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в подгруппу.
Из этой теоремы непосредственно следует описание простых групп , если --- группа Шмидта, а --- -разложимая группа, где состоит из простых делителей порядка и 2 (см. теорему(2)). В теореме (5) доказано, что неразрешимая группа , где подгруппа есть группа Шмидта, а --- нильпотентная подгруппа, есть группа из заключения теоремы(4).
Рассматриваются только конечные группы. обозначает порядок группы , а --- множество всех простых делителей . Если --- некоторое множество простых чисел, то --- наибольшая инвариантная в -подгруппа. --- подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами в . Остальные обозначения можно найти в .
Свойства групп Шмидта хорошо известны , наиболее полно они изложены в(5). В данной работе они используются без ссылок.
Следующие два результата о простых группах понадобятся при доказательстве.
Теорема Мазуров -- Сыскин 9 Если --- простая группа с силовской 2-подгруппой, изоморфной неабелевой силовской 2-подгруппе из группы Шмидта, то для некоторого .
Теорема Гольдшмидт 10 Если в простой группе силовская 2-подгруппа неабелева и , для всех и некоторой абелевой неединичной подгруппы из , то или .
Лемма Пусть разрешимая группа , где --- группа нечетного порядка, --- 2-замкнутая группа четного порядка и . Если , то
Доказательство проведем индукцией по порядку группы . Введем следующие обозначения: ; --- минимальная инвариантная в подгруппа; ; --- силовская 2-подгруппа; --- ее дополнение. Ясно, что . Если , то , отсюда и . Пусть и --- минимальная инвариантная -подгруппа в . Тогда и , где --- силовская -подгруппа для . Можно считать, что , поэтому . Кроме того, неинвариантна в , значит --- собственная в подгруппа. Замечание Фраттини дает, что . Теперь и . Так как , то , т. е. --- собственная в подгруппа. Порядки и взаимно просты, поэтому . По индукции , поэтому и . Лемма доказана.
Доказательство теоремы(4). Допустим, что теорема неверна и группа --- контрпример минимального порядка. Пусть , --- инвариантная силовская -подгруппа, --- силовская -подгруппа. Так как факторгруппа группы Шмидта является либо группой Шмидта, либо циклической -группой, то благодаря теореме В. А. Ведерникова (5)можно считать, что .
Допустим, что группа непроста и --- минимальная инвариантная в подгруппа. Тогда --- неразрешимая группа.
Предположим, что не содержит . Тогда нильпотентна, а так как , то по теореме Я. Г. Берковича (6) подгруппа имеет четный порядок. Теперь по теореме 1 из (5) получаем, что силовская 2-подгруппа в неабелева. Так как , то из свойств групп Шмидта следует, что содержится в и --- силовская 2-подгруппа в . Если непроста, то --- неразрешимая группа, где --- некоторая инволюция из центра . Так как и --- группа Шмидта четного порядка, то по индукции , или , --- простое число. Замечая, что и --- абелева группа порядка 4 или , получаем, что, . Теперь должно быть четным числом, значит, . В этих случаях и --- группа кватернионов порядка 8, что противоречит тому, что . Следовательно, --- простая группа. По теореме Мазурова-Сыскина группа изоморфна . Поэтому , значит, и
Порядок факторгруппы равен , и делится на . Так как , то делит порядок . Это противоречит взаимной простоте порядков факторов.
Следовательно, содержит подгруппу . Так как --- циклическая силовская подгруппа в , то --- простая группа и по индукции , или , где --- простое число. Так как , разрешима, a , то . Теперь изоморфна некоторой подгруппе из . Если или , то или . допускает факторизацию с группой Шмидта порядка 21 и 2-группой порядка 16. Группа не допускает требуемой факторизации. Если --- простое число, то и --- простое число. Так как , где , то . Противоречие.
Таким образом, --- простая группа.
Предположим, что силовская 2-подгруппа группы абелева. Тогда по результату Уолтера группа может быть изоморфной только одной из следующих групп: , или , группе Янко порядка 175560 или группе типа Ри. Из групп для указанных лишь группы или , где --- простое число, допускают нужную факторизацию . Группа Янко не допускает требуемой факторизации . Порядок группы делится более чем на три простых числа, и силовская 3-подгруппа содержит свой централизатор, элемент порядка 9 и неабелева(5). Поэтому неизоморфна .
В дальнейшем будем считать, что силовская 2-подгруппа в неабелева. Так как порядки и взаимно просты, то некоторая силовская 2-подгруппа из содержится либо в , либо в . Если , то и группа изоморфна для некоторого . Но в этом случае , поэтому , и делит . Так как , то делит . Но порядок делится на , а значит, и на . Противоречие.
Следовательно, . Теперь , , --- инвариантное 2-дополнение в . Если , то и ввиду леммы Бернсайда . Поэтому , --- элементарная абелева -группа и --- показатель числа по модулю . Из результатов Уолеса непосредственно получаем, что . Противоречие.
Значит, . Введем следующие обозначения: --- минимальная инвариантная в подгруппа; --- силовская подгруппа из , содержащая ; ; . Так как , то и разрешима. Кроме того, и по лемме С. А. Чунихина ((4), см. также лемму 1.16.1 из(3)) не содержит подгрупп инвариантных в . Применяя лемму настоящей работы, получаем, что . Так как и , то и . Таким образом, .
Пусть . Покажем, что для всех . Возьмем произвольный элемент , . Тогда , поэтому , . Теперь . Так как , то . Применяя результат Гольдшмидта, получаем: или . Но этот изоморфизм ввиду невозможен. Противоречие. Теорема доказана.
Лемма Пусть --- простое число, делящее порядки групп и . Если --- группа Шмидта, а --- -разложимая группа, то группа непроста.
Доказательство. Пусть --- силовская -подгруппа из , а --- силовская -подгруппа из , для которых и есть силовская -подгруппа в .
Пусть инвариантна в . Тогда для любого , , имеем: . По лемме Кегеля группа непроста.
Пусть неинварпантна в . Тогда циклическая и каждая собственная подгруппа из инвариантна в . Если --- силовская подгруппа в , то и , где --- силовская подгруппа из . По лемме Бернсайда группа непроста. Пусть не является силовской в . Тогда содержится как подгруппа индекса в некоторой группе , . Для элемента теперь содержит и . Если , то непроста по лемме Бернсайда. Если , то и непроста по лемме С. А. Чунихина.
Теперь из теоремы (2) и леммы (5) вытекает
Теорема Пусть --- группа Шмидта; --- -разложимая группа, где . Если и --- простая группа, то , или и --- простое число.
Ясно, что условие теоремы охватывает случай, когда нильпотентна.
Теорема Пусть --- неразрешимая группа, где --- группа Шмидта, --- нильпотентная группа. Тогда . и --- простое число, или для некоторого простого числа .
Доказательство. Пусть группа --- контрпример минимального порядка. Как и в теореме , пусть . Ясно, что . Группа не является произведением группы Шмидта и нильпотентной группы, поэтому из теоремы следует, что порядки и не взаимно просты, а из леммы вытекает, что --- непростая группа.
Допустим, что порядок делится на и пусть --- силовская -подгруппа из . Тогда --- неразрешимая группа, поэтому из теоремы Виландта-Кегеля следует, что . Так как есть -группа, то и по лемме из (4) группа есть -группа, противоречие. Следовательно, порядок не делится на . Но тогда делит порядок . Рассуждая как и в лемме, получаем, что , а из следует, что .
Пусть --- минимальная инвариантная в подгруппа. В силу теоремы Виландта-Кегеля и разрешима. Если , то, применяя к индукцию, получаем, что или и --- простое число, а группа из заключения теоремы, противоречие. Значит, , кроме того, и , где --- силовская -подгруппа из , --- инвариантное -дополнение в . Проверка показывает, что --- простая группа. Пусть --- силовская -подгруппа из , для которой . Если , то централизатор элемента из содержит подгруппы и , что противоречит простоте . Далее, , поэтому --- подгруппа. Но , значит, .
Пусть --- силовская 2-подгруппа в , тогда --- силовская в . Как и в теореме , можно показать, что неабелева и неизоморфна . Значит, . Пусть , --- дополнение к в . Если , то повторение соответствующих рассуждений из теоремы приводит к противоречию. Значит, . Так как , то из результата Уолеса заключаем, что изоморфна одной из следующих групп: , , , , , . Для них группа Шмидта должна иметь соответственно следующие порядки: , , , , , , причем , 5, 7, 7, 13 или 17 соответственно. Но это возможно лишь когда или и в силовская 3-подгруппа абелева. Так как и в и силовские 3-подгруппы неабелевы, то получили противоречие. Теорема доказана.
4. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп
В (1) описаны конечные неразрешимые группы, являющиеся произведением двух подгрупп взаимно простых порядков, одна из которых есть группа Шмидта, а вторая --- 2-разложимая группа (см. также(2)). Все свойства группы Шмидта хорошо известны, в частности, она бипримарна, т. е. ее порядок делится в точности на два различных простых числа, и в ней содержится неединичная циклическая силовская подгруппа.
Развивая указанный результат работы(6), мы доказываем в настоящей заметке следующую теорему.
Теорема Пусть конечная группа является произведением своих подгрупп и взаимно простых порядков, и пусть --- бипримарная группа, а --- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в есть неединичная циклическая силовская подгруппа . Тогда, если неразрешима, то изоморфна или .
обозначает произведение всех разрешимых инвариантных в подгрупп.
Следствие Пусть группа обладает факторизацией, указанной в теореме(3). Тогда, если порядок не равен 3 или 1, то разрешима.
Доказательство теоремы 1 начинается с изучения частного случая, когда подгруппа примарная. Описанию этого случая, причем без предположения четности порядка подгруппы , посвящена
Теорема Пусть неразрешимая группа является произведением бипримарной подгруппы и примарной подгруппы . Тогда, если среди силовских подгрупп группы есть циклическая, то изоморфна одной из следующих групп:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) , где --- силовская 3-подгруппа;
7) , порядок равен , а .
Так как бипримарные группы разрешимы, то группа из теоремы (7) имеет порядок, делящийся в точности на три различных простых числа. Такие простые группы к настоящему времени известны лишь в случае, когда они содержат циклическую силовскую подгруппу. Этим и вызвано требование цикличности силовской подгруппы в условии теоремы(8), а следовательно, и в условии теоремы(8).
Если будут известны все простые группы порядка , где , и --- различные простые числа, то методы доказательства теоремы (5) позволят описать неразрешимые группы с указанной в теореме (5) факторизацией без предположения цикличности подгруппы .
Используются следующие обозначения: и --- симметрическая и знакопеременная группы степени , , и --- циклическая, элементарная абелева и соответственно диэдральная группы порядка . Полупрямое произведение групп и с инвариантной подгруппой обозначается через . Примарной называется группа, порядок которой есть степень простого числа.
Предварительные леммы
Лемма Если группа является произведением двух подгрупп и взаимно простых порядков и --- субинвариантная в подгруппа, то .
Доказательство. Если --- инвариантная в подгруппа, то --- -холловская в подгруппа, где , а --- -холловская в подгруппа(9). Поэтому . Если теперь --- инвариантная в подгруппа, то опять
и т. д.
Лемма Если группа является произведением примарной подгруппы нечетного порядка и 2-разложимой подгруппы, то разрешима.
Доказательство. Пусть , --- -группа, --- нечетное простое число, --- 2-разложимая группа. В существует силовская -подгруппа такая, что , где --- некоторая силовская -подгруппа из (7). Так как разрешима, то , где --- -холловская подгруппа из . Но теперь . По лемме Бернсайда (5)группа непроста. Инвариантная подгруппа в по лемме факторизуема, т. е. , поэтому разрешима по индукции. Фактор-группа также разрешима по индукции. Поэтому разрешима и .
Лемма Группы и не содержат бипримарные холловские подгруппы.
Доказательство. Пусть . Тогда порядок равен и силовская 7-подгруппа в самоцентрализуема. Так как порядок больше порядка , то не содержит подгруппы порядка .
Предположим, что существует подгруппа порядка . По теореме Силова о числе силовских подгрупп подгруппа 7-замкнута, т. е. подгруппа порядка 7 из инвариантна в . Но теперь изоморфна подгруппе группы всех автоморфизмов , которая изоморфна . Противоречие.
Допустим, что есть подгруппа порядка . Как и в предыдущем случае, подгруппа не может быть 7-замкнутой. Так как индекс в нормализатора силовской 7-подгруппы сравним с 1 по модулю 7, то и . Поэтому 4 должно делить порядок , а это невозможно. Таким образом, в нет бипримарных холловских подгрупп.
Теперь пусть . Тогда порядок равен , силовская 3-подгруппа из неабелева и . Силовская 2-подгруппа также неабелева и имеет экспоненту 2. Нормализатор силовской 5-подгруппы в имеет порядок 20, а централизатор в совпадает с .
Предположим, что существует подгруппа порядка . Тогда 3-замкнута, а так как ненильпотентна, то . Подгруппа неабелева, поэтому минимальная инвариантная в подгруппа имеет порядок не более чем . Теперь изоморфна подгруппе из группы всех авторморфизмов . Но --- элементарная абелева, поэтому , где , и имеет порядок, не делящийся на 5. Таким образом, , но тогда . Противоречие.
Допустим, что существует подгруппа порядка . Пусть --- минимальная инвариантная в подгруппа. Так как имеет порядок 20, то неинвариантна в и есть 2-группа. По теореме Машке подгруппа есть прямое произведение неприводимых -групп . Подгруппа самоцентрализуема, поэтому не централизуют и по порядок равен для всех . Следовательно, и . Фактор-группа имеет порядок 20, поэтому она 5-замкнута и инвариантна в . Теперь . Пересечение инвариантно в , поэтому . Таким образом, , и изоморфна циклической группе порядка 4 из . Это противоречит тому, что имеет экспоненту 2.
Если G содержит подгруппу порядка , то индекс этой подгруппы в будет равен 5. Поэтому изоморфна подгруппе симметрической группы степени 5. Но порядок больше порядка . Противоречие.
Лемма Группа содержит подгруппу порядка и не содержит бипримарные холловские подгруппы других порядков.
Доказательство. Пусть . Тогда порядок равен и --- дважды транзитивная группа степени 13. Поэтому стабилизатор одной точки будет холловской подгруппой порядка . Силовская 3-подгруппа в неабелева. Нормализатор силовской 13-подгруппы имеет порядок , а централизатор --- 13 .
Пусть --- подгруппа порядка . По теореме Силова --- 13-замкнута. Поэтому центр неединичен. Противоречие.
Допустим, что есть подгруппа порядка . Так как не 13-замкнута, то минимальная инвариантная в подгруппа есть 3-группа. Подгруппа абелева, поэтому . Теперь силовская 13-подгруппа централизует . Значит, центр отличен от 1. Противоречие.
5 Произведение бипримарной и примарной групп
В этом параграфе мы докажем теорему(1), сформулированную во введении.
Доказательство теоремы(3). Через обозначим циклическую силовскую -подгруппу в . Порядки и взаимно просты, поэтому в каждая субинвариантная подгруппа факторизуема. Фактор-группа удовлетворяет условию теоремы(5). Так как , то при по индукции фактор-группа изоморфна одной из групп, перечисленных в заключении теоремы(3). Следовательно, можно считать, что .
Пусть --- минимальная инвариантная в подгруппа. Подгруппа неразрешима и является произведением изоморфных простых групп. Порядок делится на , и силовская -подгруппа в --- циклическая, поэтому --- простая группа.
Предположим, что в есть еще одна минимальная инвариантная подгруппа . Тогда . Но силовские -подгруппы и содержатся в циклической -группе , поэтому . Следовательно, --- единственная в минимальная инвариантная подгруппа.
Централизатор подгруппы инвариантен в , и . Из единственности следует, что , поэтому изоморфна группе автоморфизмов .
Порядок простой группы делится в точности на три простых числа и силовская -подгруппа в циклическая. Поэтому изоморфна , где , 7, 8, 9 или 17, , , . Кроме того, --- бипримарная холловская подгруппа в . В группах , , и нет бипримарных холловских подгрупп (см. и лемму настоящей работы).
Если изоморфна , или 7, то и имеет порядок 2. Поэтому либо , либо , или 7. Группа допускает единственную факторизацию, а именно . Группа допускает только две факторизации с взаимно простыми порядками факторов: и .
Допустим, что --- собственная в подгруппа. Если , то , . Так как , то --- подгруппа индекса 2 в , а . Подгруппа имеет единичный центр, поэтому централизатор в имеет порядок 1 или 2. В первом случае и из пункта 4) теоремы . Во втором случае и силовская 2-подгруппа в ) должна быть абелевой, что невозможно. Таким образом, если , то , а .
Пусть теперь . Если , то индекс в равен 2, а так как --- совершенная группа, то . Но это противоречит тому, что в силовская 2-группа диэдральная. Поэтому для одна возможность: . Но тогда , а , т. е. для возможна единственная факторизация, указанная в пункте 5).
Теперь рассмотрим случай, когда . Эта группа допускает единственную факторизацию, указанную в пункте 3) теоремы. Пусть . Так как --- подгруппа индекса 3 в , то . Причем , а . Но тогда ,а --- силовская 3-подгруппа из .
Осталось рассмотреть случай, когда . Так как индекс в группе автоморфизмов равен 2, то либо , либо . Но в нет подгрупп индекса 13.
Применяя лемму , заключаем, что из пункта 7) теоремы. Теорема доказана полностью.
Следствие Пусть группа является произведением бипримарной подгруппы с неединичной циклической силовской подгруппой и примарной подгруппы . Тогда, если порядок не равен 3 или 7, то разрешима.
Доказательство. Пусть --- контрпример минимального порядка. Так как фактор-группа неразрешима, то из теоремы 2 следует, что она изоморфна , где , 7 или 8; , или 7; . Поэтому порядок -группы равен 3 или 7. Значит, или 7, .
Пусть --- минимальная разрешимая инвариантная в подгруппа. Ясно, что есть -группа, а так как циклическая, то порядка . Централизатор подгруппы инвариантен в , поэтому . Кроме того, . Если , то разрешима по индукции, a примарна или бипримарна, т. е. разрешима и , противоречие. Следовательно, , и содержится в центре группы .
Пусть --- коммутант группы . По пересечение равно 1. Значит, не содержится в . Из цикличности следует, что подгруппа имеет порядок, не делящийся на , т. е. разрешима. Теперь и разрешима, противоречие. Следствие доказано.
Группы Шмидта и -квазинильпотентные группы обладают неединичной циклической силовской подгруппой. Поэтому следствие обобщает результаты И. П. Д окторова и М. И. Кравчука .
6. Доказательство теоремы (3)
Допустим, что теорема неверна и группа --- контрпример минимального порядка. Пусть --- циклическая силовская -подгруппа в , а , где --- силовская 2-подгруппа в , --- ее инвариантное дополнение в . В силу леммы условие теоремы выполняется для , поэтому мы можем считать, что .
Пусть --- минимальная инвариантная в подгруппа. Тогда неразрешима, и по лемме порядок делится на . Силовская -подгруппа циклическая, поэтому --- простая группа. Теперь, если --- другая инвариантная в подгруппа, то силовская -подгруппа пересекается с не по единице. Из минимальности следует, что содержится в . Таким образом, --- единственная минимальная инвариантная в подгруппа. Так как централизатор подгруппы инвариантен в и пересекается с по единице, то и . Следовательно, изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы .
Если --- собственная в подгруппа, то по индукции изоморфна . Но тогда изоморфна , противоречие.
Таким образом, --- простая группа. В силу теоремы подгруппа неединична.
Введем следующие обозначения: --- минимальная инвариантная в подгруппа, --- силовская подгруппа из , содержащая , . Так как инвариантна в , то .
Допустим, что . Напомним, что --- наибольшая инвариантная в группе -подгруппа. Так как и , то и . Поэтому . Пусть . Покажем, что для всех . Возьмем произвольный элемент , . Тогда , поэтому для некоторого . Теперь . Так как инвариантна в , то . По теореме Гольдшмидта получаем, что либо абелева, либо изоморфна или . Если абелева, то группа разрешима, противоречие. Так как , то изоморфизм с группами и ) невозможен.
Таким образом, . Группа , и не содержит подгрупп, инвариантных в . По лемме 1 из группа неразрешима. Значит, бипримарна, и делит порядок . По индукции изоморфна или .
Допустим, что имеет четный порядок. Подгруппа факторизуема, a инвариантна в , значит, и . Если содержит неединичную подгруппу, инвариантную в , то и содержит подгруппу, инвариантную в , противоречие. По лемме 1 из подгруппа неединична, противоречие. Следовательно, порядок нечетен.
Теперь силовская 2-подгруппа из изоморфна силовской 2-подгруппе из группы или , т. е. --- диэдральная группа порядка 8 или 16. Поэтому и изоморфна или , нечетное. Но этот изоморфизм ввиду невозможен. Теорема доказана.
Доказательство следствия теоремы. Пусть утверждение неверно и группа --- контрпример минимального порядка. Фактор-группа неразрешима и по теореме она изоморфна или . Поэтому порядок -группы равен 3 или 7. Значит, . Теперь, повторяя дословно второй и третий абзацы доказательства следствия теоремы, мы приходим к противоречию.
Заключение
Итак, в данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и 2-разложимой групп. Доказываются следующие теоремы:
Теорема. Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Если подгруппы и -разложимы для каждого , то разрешима.
Теорема. Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Предположим, что и --- -замкнуты для каждого . Если и -разложимы и -разложимы, то разрешима.
Теорема. Пусть есть группа Шмидта, --- 2-разложимая группа, порядки и взаимно просты. Если и --- конечная неразрешимая группа, то , , и --- простое число или для некоторого простого .
Теорема. Пусть --- группа Шмидта; --- -разложимая группа, где . Если и --- простая группа, то , или и --- простое число.
Теорема. Пусть конечная группа является произведением своих подгрупп и взаимно простых порядков, и пусть --- бипримарная группа, а --- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в есть неединичная циклическая силовская подгруппа . Тогда, если неразрешима, то изоморфна или .
Теорема. Пусть неразрешимая группа является произведением бипримарной подгруппы и примарной подгруппы . Тогда, если среди силовских подгрупп группы есть циклическая, то изоморфна одной из следующих групп:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) , где --- силовская 3-подгруппа;
7) , порядок равен , а .
Список литературы
Huppert B., Endliche Gruppen. I, Berlin--Heidelberg --- N. Y., Springer--Verlag, 1967.
Glauberman G., Factorizations in local subgroups of finite groups, Reg. Con. Ser. Math., № 33, (1977), 77.
Сыскин С. А., Об одном вопросе Р. Бэра, Сиб. матем. ж. 20, № 3 (1979), 679-681.
Монахов В. С., Произведение сверхразрешимой и циклической или примерной групп, Сб., Конечные группы (Тр. Гомельского семинара), Минск, "Наука и техника", 1978, 50-63
Фомин А. Н., Одно замечание о факторизуемых группах, Алгебра и логика, 11, № 5 (1972), 608-611.
В. Huppert, Math. Zeit., 64, 138, 1956.
В. А. Ведерников, Матем. зам., 3, 201, 1968.
И. П. Докторов, ДАН БССР, 13, 101, 1969.
П. И. Трофимов, ДАН СССР, 167, 523, 1966.
В. С. Монахов, ДАН БССР, 18, № 7, 584, 1974.
С. А. Чунихин, Л. А. Шеметков, сб. Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1969, М., 7, 1971.
О. Ю. Шмидт, Матем. сб., 31, 366, 1924.
L. Redei, Publ. Math. Debrecen,4, 303, 1956.
В. Д. Мазуров, С. А. Сыскин, Матем. заметки, 14, 217,1973.
D. Gодdsсhmidt, Not. Amer. Math. Soc., 20, № 1, 1973.
Я. Г. Бeркович, ДАН СССР, 171, 770, 1966.
В. С. Монахов, ДАН БССР, 15, 877, 1971.
Z. Jankо, J. Algebra, 3, 147. 1966.
Н. Ward, Trans. Amer. Math. Soc., 121, 62, 1966.
B. Huppert, Endliche Gruppen I, Berlin, 1967.
D. Wales, Algebra, 20, 124, 1972.
С. А. Чyнихин, Труды семинара по теории групп, М.-Л., 1938.
С. А. Чунихин, Подгруппы конечных групп, Минск, 1964.
В. Huppert, N. Itо, Math. Z., 61, 94, 1954.
J. Walter, Annals Math., 89, 405, 1969.
N. Ito, Acta scient. math., 15, 77, 1953.
В. С. Монахов, Матем. зам., 16, 285, 1974.
Монахов В. С., О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта, Докл. АН БССР, 18, № 10 (1974), 871-874.
Конечные группы, Тр. Гомельского семинара, Минск, Наука и техника, 1975.
Huppert В., Endliche Gruppen, Bd. I, Berlin, Springer- Verlag, 1967.
Leon J., Wales D., Simple groups of order 2aZbpc with cyclic Sylow -groups, J. Algebra, 29 № 2 (1974), 246-254.
Докторов И. П., Об одном классе факторизуемых групп, Докл. АН БССР, 13, № 2 (1969), 101-102.
Goldschmidt D., 2-fusion in finite groups, Ann. Math., 99, № 1 (1974), 70-117.
Монахов B.C., К двум теоремам Ведерникова, Докл. АН БССР, 15, № 10 (1971), 877-880.
Gоrеnstein D., Walter J., The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups, J. Algebra, 2 (1965), 85-151, 218-270, 334-397.
