15

1. ВВЕДЕНИЕ

Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или соб-ственным, значением системы. С задачами на собственные значе-ния инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответст-вуют собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют определять критические на-грузки, превышение которых приводит к потере устойчивости.

Выбор наиболее эффективного метода определения собствен-ных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Алгоритмы решения задач на собственные значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы преобразований подобия несколько сложней, зато позволяют определить все собственные значения и собственные векторы.

В данной работе будут рассмотрены наиболее распространенные методы решения задач на собственные значения. Однако сначала приведем некоторые основные сведения из теории матричного и векторного исчислений, на которых базируются методы опреде-ления собственных значений.

2. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

В общем виде задача на собственные значения формулируется следующим образом:

AX = X,

где A -- матрица размерности n х n. Требуется найти n скаляр-ных значений и собственные векторы X, соответствующие каждому из собственных значений.

Основные определения матричного исчисления

1. Матрица A называется симметричной, если

а_ij = а_ij, где i, j = 1, 2, . . ., n.

Отсюда следует симметрия относительно диагонали

а_kk, где k == 1, 2, . . ., n.

Матрица

является примером симметричной.

2. Матрица A называется трехдиагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной и примыкающих к ней диа-гоналей, равны нулю. В общем случае трехдиагональная матри-ца имеет вид

Важность трехдиагональной формы обусловлена тем, что некоторые методы преобразований подобия позволяют привести произвольную матрицу к этому частному виду.

3. Матрица A называется ортогональной, если

А^ТА = Е,

где А^т--транспонированная матрица A, а Е--единичная матрица. Очевидно, матрица, обратная ортогональной, эквива-лентна транспонированной.

4. Матрицы А и В называются подобными, если существует такая несингулярная матрица Р, что справедливо соотношение

В = Р^-1АР.

Основные свойства собственных значений.

1. Все п собственных значений симметричной матрицы раз-мерности пХп, состоящей из действительных чисел, действи-тельные. Это полезно помнить, так как матрицы, встречающиеся в инженерных расчетах, часто бывают симметричными.

2. Если собственные значения матрицы различны, то ее соб-ственные векторы ортогональны. Совокупность п линейно неза-висимых собственных векторов образует базис рассматривае-мого пространства. Следовательно, для совокупности линейно независимых собственных векторов

Xⁱ, где i == 1,. . ., n,

любой произвольный вектор в том же пространстве можно выра-зить через собственные векторы. Таким образом,

n

Y = a_iXⁱ.

i=1

3. Если две матрицы подобны, то их собственные значения сов-падают. Из подобия матриц A и В следует, что

В = Р^-1АР.

Так как

АХ = Х,

то

Р^-1АХ = Р^-1Х.

Если принять Х == РY, то

Р^-1АРY = Y,

а

ВY == Y.

Таким образом, матрицы A и В не только имеют одинаковые собственные значения, но и их собственные векторы связаны соот-ношением

Х = Р Y.

4. Умножив собственный вектор матрицы на скаляр, получим собственный вектор той же матрицы. Обычно все собственные векторы нормируют, разделив каждый элемент собственного вектора либо на его наибольший элемент, либо на сумму квадра-тов всех других элементов.

3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ.

Пожалуй, наиболее очевидным способом решения задачи на собственные значения является их определение из системы урав-нений

(A - E) Х == 0,

которая имеет ненулевое решение лишь в случае, если det(A - E)=0. Раскрыв определитель, получим многочлен п-й степени относительно , корни которого и будут собственными значениями матрицы. Для определения корней можно восполь-зоваться любым из методов, описанных в гл. 2. К сожалению, в задачах на собственные значения часто встречаются кратные корни. Так как итерационные методы, в этих случаях не гарантируют получение решения, то для определения собственных значений следует пользоваться другими итерацион-ными методами.

Определение наибольшего собственного значения методом итераций

На рис. 1 показана блок-схема простейшего итерационного метода отыскания наибольшего собственного значения системы

AХ = Х.

Процедура начинается с пробного нормированного вектора X⁽⁰⁾. Этот вектор умножается слева на матрицу A, и результат приравнивается произведению постоянной (собственное значение) и нормированному вектору X⁽⁰⁾.. Если вектор X⁽⁰⁾ совпадает с вектором X⁽⁰⁾, то счет прекращается. В противном случае новый нормированный вектор используется в качестве исходного и вся процедура повторяется. Если процесс сходится, то постоянный множитель соответствует истинному наибольшему собст-венному значению, а нормированный вектор -- соответствующему собственному вектору. Быстрота сходимости этого итерационного процесса зависит от того насколько удачно выбран начальный вектор. Если он близок к истинному собственному вектору, то итерации сходятся очень быстро. На быстроту сходимости влияет также и отношение величин двух наибольших собственных значений. Если это отношение близко к единице, то сходимость оказывается медленной.

Рис. 1. Блок-схема алгоритма иитерационного метода решения задач на собственные значения.

Пример 1

Исследуем трехосное напряженное состояние элемента тела, представленного на рисунке 2. Матрица напряжений для него имеет вид

Рисунок 2.Трехосное напряженное состояние элемента тела.

Если исходить из того, что разрушение произойдет при максимальном напряжении, то необходимо знать величину наибольшего главного напряжения, которое соответствует наибольшему собственному значению матрицы напряжений. Для нахождения этого напряжения воспользуемся методом итерации Ниже приведена программа для ЭВМ, с помощью которой итерационная процедура осуществляется до тех пор, пока разность между собственными значениями, вычисленными в последовательных итерациях, не станет менее 0,01%. В программе использованы две подпрограммы -- GMPRD из пакета программ для научных исследований фирмы IВМ, служащая для перемножения матриц и NORML, нормирующая собственные векторы по наибольшему элементу.

{**********************************************************************}

????????? ??????????? ??????????? ???????? ????????? ????????? ?????????? ?????????? ??????? ?????????? (??????????? ????????) ??? ??????? ?????????? ???????????? ?????????. ??????????? ????? ????????. ???? ????????????, ????? ????????? ???????????? ???????? ?????????? ????? 0,01 ???????? ??? ????? ???????? ????????? 50.

{**********************************************************************}

DIMENSION S(3,3),X(3),R(3)

S(1,1) = 10.E06

S(1,2) = 5.??6

S(2,1) = S(1,2)

S(1,3) = 6.E06

S(3,1) = S(1,3)

S(2,2) = 20.E06

S(2,3) = 4.E06

S(3,2) = S(2,3)

S(3,3) = ?0.?06

X(1) = 1.

?(2) = 0.0

?(3) = 0.0

XOLD = 0.0

I = 0

WRITE(6 100)

WRITE(6 101)

WRITE(6 102)

WRITE(6 100)

WRITE(6 104) I,X(1),X(2),X(3)

DO 1 1=1,50

CALL GMPRD (S, X, R, 3, 3, 1)

DO 2 J=1,3

2 X(J) = R(J)

CALL NORML(XLAM,X)

WRITE(6,103) I,XLAM,X(1),X(2),X(3)

IF(ABS((XOLD-XLAM)/XLAM).LE.0.0001) GO TO 3

XOLD = XLAM

3 WRITE(6,100)

100 FORMAT (1X 54C-))

FORMAT (2X `ITERATION, ?? `ITERATION, 11X,`EIGENVECTOR)

FORMAT (3X NUMBER", 6X ,(N/M**2), 5X, `X(1),

6X,X(2),6X,X(3))

103 FORMAT (1X,I5,7X,E12.5,3F10.5)

104 FORMAT (1X,I5,19X,3F10.5)

STOP

END

{**********************************************************************}

SUBROUTINE NORML(XL,X)

DIMENSION X(3)

{**********************************************************************}

???????????? norml.

??? ???????????? ??????? ?????????? ?? ???? ????????? ???????????? ??????? ? ????????? ??????????? ?????? ?? ????? ??????????? ????????.

{**********************************************************************}

# FIND THE LARGEST ELEMENT

XBIG = X(1)

IF(X(2).GT.XBIG)XBIG=X(2)

IF(X(3).GT.XBIG)XBIG=X(3)

# Нормирование по XBIG

X(l) = X(1)/XBIG

X(2) = X(2)/XBIG

X(3) = X(3)/XBIG

XL = XBIG

RETURN

END

{**********************************************************************}

Результат работы программы получаем в виде:

Отметим, что для достижения требуемой точности потребовалось 14 итераций.

Определение наименьшего собственного значения методом итераций

В некоторых случаях целесообразно искать наименьшее, а не наибольшее собственное значение. Это можно сделать, предвари-тельно умножив исходную систему на матрицу, обратную A:

А^-1АX=А^-1X.

Если обе части этого соотношения умножим на 1/, то получим

1/ Х = A^-1X.

Ясно, что это уже иная задача на собственное значение, для кото-рой оно равно 1/, а рассматриваемой матрицей является A^-1. Максимум 1/, достигается при наименьшем . Таким образом, описанная выше итерационная процедура может быть использо-вана для определения наименьшего собственного значения новой системы.

Определение промежуточных собственных значений методом итераций

Найдя наибольшее собственное значение, можно определить следующее за ним по величине, заменив исходную матрицу мат-рицей, содержащей лишь оставшиеся собственные значения. Используем для этого метод, называемый методом исчерпывания. Для исходной симметричной матрицы A с известным наиболь-шим собственным значением ₁ и собственным вектором X₁ мож-но воспользоваться принципом ортогональности собственных векторов, т. е. записать

Х_i^T Х_j =0 при i<>j и Х_i^T Х_j =1 при i=j.

Если образовать новую матрицу A* в соответствии с формулой

A* =A-₁Х₁ Х₁^T,

то ее собственные значения и собственные векторы будут связаны соотношением

А^*X_i =_iX_i.

Из приведенного выше выражения для матрицы A* следует, что

A* Х_i = AХ_i -Х₁ Х₁^TX_i.

Здесь при i = 1 свойство ортогональности позволяет привести правую часть к виду

A Х₁ - ₁ Х₁.

Но по определению собственных значений матрицы A это выра-жение должно равняться нулю. Следовательно, собственное значение ₁ матрицы A* равно нулю, а все другие ее собственные значения совпадают с собственными значениями матрицы A. Таким образом, матрица A* имеет собственные значения 0, ₂, ₃,. . ., _n и соответствующие собственные векторы Х₁, Х₂, Хз,. . . .... Х_n. В результате выполненных преобразований наибольшее собственное значение ₁ было изъято, и теперь, чтобы найти сле-дующее наибольшее собственное значение ₂, можно применить к матрице A* обычный итерационный метод. Определив ₂ и Х₂, повторим весь процесс, используя новую матрицу A**, получен-ную с помощью A*, ₂ и Х₂. Хотя на первый взгляд кажется, что этот процесс должен быстро привести к цели, он имеет сущест-венные недостатки. При выполнении каждого шага погрешности в определении собственных векторов будут сказываться на точ-ности определения следующего собственного вектора и вызы-вать накопление ошибок. Поэтому описанный метод вряд ли применим для нахождения более чем трех собственных значений, начиная с наибольшего или наименьшего. Если требуется полу-чить большее число собственных значений, следует пользоваться методами преобразования подобия.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МЕТОДАМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ

Метод преобразований подобия применяется с целью получить из исходной матрицы новую с теми же собственными значениями, но более простого вида. Очевидно, самым лучшим упрощением было бы приведение матрицы к чисто диагональному виду, так как в этом случае собственные значения просто соответствовали бы элементам матрицы, стоящим на главной диагонали. К сожале-нию, большая часть методов преобразования не позволяет этого сделать, и приходится довольствоваться приведением матрицы к трехдиагональной форме.

Метод Якоби

Метод Якоби позволяет привести матрицу к диагональному виду, последовательно, исключая все элементы, стоящие вне глав-ной диагонали. К сожалению, приведение к строго диагональному виду требует бесконечно большого числа шагов, так как образо-вание нового нулевого элемента на месте одного из элементов матрицы часто ведет к появлению ненулевого элемента там, где ранее был нуль. На практике метод Якоби рассматривают, как итерационную процедуру, которая в принципе позволяет доста-точно близко подойти к диагональной форме, чтобы это преобра-зование можно было считать законченным. В случае симметрич-ной матрицы A действительных чисел преобразование выполня-ется с помощью ортогональных матриц, полученных в результате вращении в действительной плоскости. Вычисления осуществ-ляются следующим образом. Из исходной матрицы А образуют матрицу A₁ == Р₁АР₁^T. При этом ортогональная матрица Р₁ выбирается так, чтобы в матрице А₁ появился нулевой элемент, стоящий вне главной диагонали. Затем из А₁ с помощью второй преобразующей матрицы Р₂, образуют новую матрицу A₂. При этом Р₂, выбирают так, чтобы в A₂ появился еще один нулевой внедиагональный элемент. Эту процедуру продолжают, стремясь, чтобы на каждом шаге в нуль обращался наибольший внедиагональный элемент. Преобразующая матрица для осуществления указанной операции на каждом шаге конструируется следующим образом. Если элемент а_kl матрицы А_т-1 имеет максимальную величину, то Рт соответствует

P_kk = P_ll = cos ,

P_kl = - P_lk = sin ,

P_ii = 1 при i <> k, l, P_ij = 0 при i <> j.

Матрица А_т будет отличаться от матрицы A_m-1 только строками и столбцами с номерами k и l. Чтобы элемент а_kl^(m) был равен нулю, значение выбирается так, чтобы

2 a_kl^(m-1)

tg 2 = ------------------------- .

a_kk^(m-1) - a_ll^(m-1)

Значения заключены в интервале

- -- <= <= --.

4 4

Пример 2

Пусть требуется найти значения всех главных напряжений для напряженного состояния, показанного на рисунке примера 1. Для этого необходимо найти все собственные значения матрицы напряжений. Такая потребность возникает, если конструктор вместо теории разрушения при максимальном нормальном напряжении намерен пользоваться какой-либо другой теорией разрушения. Чтобы найти все собственные значения, обратимся к методу преобразований Якоби, для реализации которого воспользуемся подпрограммой Е1GЕМ из пакета программ для научных исследований фирмы IВМ, предназначенной для симметричных матриц. Так как матрица симметрична, то она содержит лишь шесть различных элементов. Для экономии памяти подпрограмма ЕIGЕМ использует матрицу 3Х3 в компактной форме, при которой требуется только шесть ячеек памяти. Программа для решения данной задачи имеет вид:

{**********************************************************************}

????????? ??????????? ???? ??????? ?????????? ????????? ??????? ??????????.

? ????????? ???????????? ???????????? ?IG?? ?? ?????? ???????? ??? ??????? ???????????? ????? I??

{**********************************************************************}

DIMENSION S<6),R(?) ?

# ??????? ??????? ? ?????????? ?????

S(1) = 10 ?06

S(2) = 5 ?06

S(3) = 20 ?06

S(4) = 6 ?06

S(5) = 4 ?06

S(6) = 30 ?06

# ??????????? ???? ??????????? ???????? ??????? ?????

CALL EIGEN(S,R,3,0)

# ?????? ??????????? ????????

WRITE(6,100)

WRITE(6,101) S(1),S(3),3(6)

100 FORMAT(1?,??? EIGENVALUES ARE)

101 FORMAT(1X,E15.8)

STOP

END

Результат работы программы получаем в виде:

??????????? ???????? ??в??

0.33709179E 08

0.19149061E 08

0.71417603E 07

Метод Гивенса для симметричных матриц

Метод Гивенса основан на преобразовании подобия, аналогич-ном применяемому в методе Якоби. Однако в этом случае алго-ритм построен таким образом, что вновь образованные нулевые элементы при всех последующих преобразованиях сохраняются. Поэтому метод Гивенса требует выполнения конечного числа преобразований и по сравнению с методом Якоби связан с мень-шими затратами машинного времени. Его единственный недоста-ток состоит в том, что симметричная матрица приводится не к диагональному, а к трехдиагональному виду. Ниже будет пока-зано, что такая форма матрицы может быть весьма полезной и оправдывает усилия, затраченные на ее получение.

В случае матрицы размерности п х п метод Гивенса требует п -- 2 основных шагов, на каждом из которых выполняется ряд преобразований, число которых зависит от числа нулей, кото-рое хотят получить в данном столбце или строке. На k -м шаге обращают в нули элементы, стоящие вне трех диагоналей k-й строки и k -го столбца, сохраняя в то же время нулевые элементы, полученные на предыдущих шагах. Таким образом, перед нача-лом k -го шага преобразованная матрица является трехдиа-гональной, если ограничиться рассмотрением ее первых k -- 1 строк и столбцов. По мере преобразований симметричная матри-ца размерности 5х5 приобретает следующие формы:

На каждом основном шаге изменяются лишь те элементы мат-рицы а_ij, которые расположены в ее правой нижней (заштрихо-ванной) части. Таким образом на k-м шаге преобразуется только матрица порядка (п -- k + 1), занимающая правый нижний угол исходной матрицы. Ясно, что на каждой следующей стадии вы-полняется меньшее число преобразований, чем на предыдущей. Всего для приведения матрицы к трехдиагональному виду тре-буется выполнить (n² -- Зп + 2)/2 преобразований.

Наш опыт применения метода Гивенса показывает, что можно при выполнении одного шага преобразований обратить в нуль сразу все элементы целой строки и столбца, стоящие вне трех диагоналей матрицы. Метод, позволяющий выполнить такое преобразование, предложил Хаусхолдер .

Метод Хаусхолдера для симметричных матриц

Метод Хаусхолдера позволяет привести матрицу к трехдиа-гональному виду, выполнив почти вдвое меньше вычислений по сравнению с другими методами. Это обусловлено тем, что при его применении становятся нулевыми сразу все элементы строк и столбцов, стоящие вне трех диагоналей матрицы. Метод Хаусхол-дера позволяет получить требуемый результат быстрее, чем метод Гивенса, так как связан с выполнением меньшего числа, хотя и более сложных преобразований. Это его свойство особенно ярко проявляется применительно к большим матрицам. Хотя в методе Хаусхолдера вместо плоских вращении используются эрмитовы ортогональные преобразования матриц, трехдиагональная форма матрицы, которую получают этим методом, имеет те же собствен-ные значения, что и трехдиагональная матрица, получаемая методом Гивенса. При использовании метода Хаусхолдера на п -- 2 основных шагах выполняются следующие преобразования:

А_k = Р_kA_k-1Р_k, k=1, 2, ..., п-2,

где Aо == А.

Каждая преобразующая матрица имеет вид

u_k u_k^T

P_k = E - -------------- ,

2K_k²

где

u_i,_k = 0 при i = 1, 2, …, k,

u_i,_k = a_k,_i при i = k+2, …, n,

u_k+1,_k = a_k,k+1 Sk.

Здесь

n 1/2

Sk = a²_k,i

i=k+1

2K²_k = S²_k ak, k+1 Sk.

В этих уравнениях берется знак, соответствующий элементу a_k,_k+1. Это позволяет сделать значение и_k+1,k максимальным. Отметим, что методами Гивенса и Хаусхолдера можно пользо-ваться и в случае несимметричных матриц, приводя их, правда, не к трехдиагональному, а другому частному виду треугольной матрицы известной как матрица Гессенберга:

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ СИММЕТРИЧНОЙ ТРЕХДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ

Приведя симметричную матрицу к трехдиагональному виду методом Гивенса или Хаусхолдера, необходимо найти ее собст-венные значения. Чтобы ясней были достоинства трехдиагональной формы, сформулируем задачу о собственных значениях в виде

dеt(А--E) = 0,

где А -- симметричная трехдиагональная матрица. Раcкрыв выражение в скобках, получим