Оценка надежности и ремонтопригодности электрооборудования - учебное пособие

57

Министерство сельского хозяйства и продовольствия

Российской Федерации

Департамент кадровой политики и образования

Костромская Государственная сельскохозяйственная академия

Кафедра «Электропривод и электротехнология»

ПОСОБИЕ

К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

по дисциплине «Эксплуатация электрооборудования»

Оценка надежности и ремонтопригодности электрооборудования

Кострома, 2000 год.

Пособие к практическим занятиям составлено в соответствии с программой курса «Эксплуатация электрооборудования» для студентов специальности 3114 «Электрификация и автоматизация сельского хозяйства» очной формы обучения, рассмотрены на заседании методической комиссии факультета электрификации и автоматизации сельского хозяйства Костромской государственной сельскохозяйственной академии и рекомендованы к изданию.

Протокол №___________________________ 2000 г.

Составитель: Шмигель В.В., к.т.н., доцент кафедры «Электропривод и электротехнология», КГСХА

Содержание

1. Основные показатели надежности электрооборудования

1.1 Показатели безотказности неремонтируемых объектов

1.2 Показатели безотказности ремонтируемых объектов

1.3 Статистическая оценка показателей надежности

1.4 Ремонтопригодность, долговечность и сохраняемость электрооборудования

1.5 Комплексные показатели надежности

1.6 Надежность систем из последовательно и параллельно соединенных элементов

1.7 Решение типовых примеров

2. Определение резервного фонда электрооборудования

2.1 Использование теории массового обслуживания для решения эксплуатационных задач

2.2 Аналитический метод расчета резервного фонда электрооборудования

2.3 Решение типовых примеров

3. Техническая диагностика электрооборудования

3.1 Метод последовательных поэлементных проверок

3.2 Метод последовательных групповых примеров

3.3 Решение типовых примеров

Приложение 1. Функция Лапласа

Приложение 2. Значение гамма-функции Г(Х)

Приложение 3. Значение функции распределения Пуассона P_km (t)

Приложение 4. Продолжительность простоев технологических процессов

Приложение 5. Определение среднего числа простаивающих технологических процессов

Приложение 6. Таблица значений функции е^-х

Приложение 7. Интенсивности отказов электротехнических изделий

1. Основные показатели надежности электрооборудования

1.1. Показатели безотказности неремонтируемых объектов

Неремонтируемые объекты работают до первого отказа. Различные показатели надежности таких объектов являются характеристиками случайной величины наработки до первого отказа. Для таких объектов обычно используются следующие показатели: P(t) - вероятность безотказной работы, f(t) - плотность распределения наработки до отказа, l(t) - интенсивность отказов, Т₁ - наработка до отказа.

Вероятность безотказной работы - вероятность того, что в пределах заданного интервала времени или наработки не возникнет отказ объекта. Это убывающая функция, при t®Ґ P(t)® 0, значения ее находятся в диапазоне 0...1 [1].

= e ^-t (1.1)

Плотностью распределения наработки до отказа (частотой отказов) называется производная от функции надежности [1]

a(t) =f ( t ) = dQ(t) / dt = - dP(t) / dt (1.2.)

Интенсивность отказов характеризует условную вероятность того, что объект откажет на интервале (t + t), при условии, что он был работоспособен в начале интервала. Интенсивность отказов определяется по формуле [1]

l ( t ) = f ( t ) / P ( t ) (1.3.)

Наработкой до первого отказа называется математическое ожидание наработки объекта до первого отказа. На основании известного соотношения между математическим ожиданием и дифференциальным законом распределения случайной величины устанавливается связь Т₁ с вероятностью безотказной работы [1]

(1.4)

Различные периоды работы технических устройств [1].

При рассмотрении работоспособности любого технического устройства или изделия различают три периода его “жизни”:

а) период приработки. В это время проявляются конструктивные и технологические отказы внезапного характера. Постепенные отказы практически отсутствуют. За счет устранения дефектных элементов и мест некачественной сборки и по мере приработки деталей интенсивность отказов уменьшается и в конце периода снижается до некоторого наименьшего значения. Графически это выглядит следующим образом:

_в

57

t₁ t

Рис. 1 Изменение интенсивности внезапных отказов в период приработки (участка 0-t₁) примерно описывается законом Вейбулла.

б) Период нормальной эксплуатации

На этом интервале внезапные конструктивно-технологические отказы продолжают уменьшаться, но одновременно возрастает доля постепенных отказов.

_п

57

0 t₁ t₂ t₃

Рис.2. Изменение интенсивности постепенных отказов в период нормальной эксплуатации (участок t₁-t₂).

Участок нормальной эксплуатации обычно в десятки раз продолжительнее периода приработки. На этом участке показатели надежности достаточно строго описываются экспоненциальным распределением случайных величин.

в) Период износа

В это время преобладают постепенные отказы из-за износа и старения

электрооборудования. Интенсивность отказов постепенно растет, причем темпы роста трудно прогнозировать. На рис. 2 это характеризуется участком t₂-t₃. Для описания показателей надежности в большей мере подходят закономерности нормального распределения случайных величин. Суммарный же график “жизни” устройства будет иметь вид:

Рис. 3 График “жизни” устройства _п - постепенные отказы; _в - внезапные отказы; _и - износовые отказы

Описанная закономерность появления отказов позволяет сделать следующие выводы по организации рациональной эксплуатации электрооборудования - в период приработки электрооборудования необходим более тщательный надзор за каждым элементом и постоянный контроль за режимом работы; в период нормальной эксплуатации нельзя нарушать периодичность обслуживания электрооборудования, т.к. это увеличит интенсивность отказов и преждевременно наступит период износа; в начальный период износа электрооборудование должно быть направлено в капитальный ремонт или снято с эксплуатации. Из трех рассмотренных законов распределения случайной величины наиболее часто используется показательное распределение. Оно применимо для сложных систем, характеризует работу изделия на участке длительной эксплуатации, расчеты ведутся по простым формулам. При оценке надежности используются также нормальный закон распределения на участке ускоренного износа изделий и распределение Вейбулла на участке приработки.

Для описания дискретных случайный величин в теории надежности применяется распределение Пуассона. Согласно закону Пуассона вероятность того, что случайная величина примет вполне определенное значение k, вычисляется по формуле [2]

P_k = (a^k / k! ) e^-a , (1.5)

где а - параметр распределения.

Тип распределения случайной величины наработки до отказа зависит от особенностей процесса развития отказа. Для электротехнических изделий, находящихся в эксплуатации, наиболее часто применяются следующие законы распределения: экспоненциальный, нормальный, Вейбулла. Ниже в табл. 1.1.приведены формулы для оценки показателей надежности при различных законах распределения наработки до отказа.

Таблица 1.1.

Примечание

В табл. 1.1. l₀ и b - параметры распределения Вейбулла, Г - гамма - функция (см. табл. 2 приложения), m_t и s_t - параметры нормального распределения, Ф(х) = 2/ - функция Лапласа.

1.2 Показатели безотказности ремонтируемых объектов [2]

Ремонтируемые объекты после возникновения отказа восстанавливают и продолжают эксплуатировать. Процесс их использования можно представить как последовательное чередование интервалов времени работоспособного и неработоспособного состояний. Показатели безотказности ремонтируемых объектов являются: вероятность безотказной работы Р( t ), параметр потока отказов ( t ), и средняя наработка на отказ Т.

Вероятность безотказной работы для нового оборудования рассматривается до первого отказа, а для оборудования, находящегося в эксплуатации, - до отказа после восстановления работоспособности. Расчет показателя ведется по формуле (1.1). Параметр потока отказов представляет собой отношение математического ожидания числа отказов восстанавливаемого объекта за достаточно малую наработку к величине этой наработки

, (1.6)

где D t - малый отрезок наработки; r (t) - число отказов, наступивших от начального момента времени до достижения наработки t.

Разность r (t+D t) - r(t) представляет собой число отказов на отрезке D t.

Наработка на отказ Т характеризует среднее число часов работы между двумя соседними отказами

, (1.7)

где t - суммарная наработка; r (t) - число отказов, наступивших в течение этой наработки; М[r(t)] - математическое ожидание этого числа отказов.

1.3 Статистическая оценка показателей надежности

Рассматриваемые выше показатели надежности для ремонтируемых и неремонтируемых изделий могут быть определены по статистическим данным об отказах электрооборудования.

Точечная статистическая оценка для вероятности безотказной работы [2].

(1.8)

где N - число объектов, работоспособных в начальный момент времени; n(t) - число объектов, отказавших на отрезке 0…t.

Частота отказов, ч^-1 из опытных данных рассчитывается по формуле [1]

a^*(t) = , (1.9)

где Dn_i - число отказов за промежуток времени D t_i ;

N - число элементов первоначально установленных на испытание;

D t_i - интервал времени.

Интенсивность отказов определяется по формуле [1]

, (1.10)

где Dn_i - число отказов за промежуток времени D t_i;

N_ср= ( N_i + N_i+1) / 2 - среднее число работоспособных элементов;

N_i - число элементов, работоспособных в начале рассматриваемого промежутка времени;

N_i+1 - число элементов, работоспособных в конце промежутка времени t _i.

Статистическая оценка для средней наработки до отказа производится по выражению [2]

(1.11)

где t_i - наработка до первого отказа каждого объекта.

Практически же знать время исправной работы t_i всех элементов не представляется возможным, поэтому ограничиваются статистическими данными по отказавшим элементам. Тогда [2]

(1.12)

где Dn_i - количество отказавших элементов в интервале времени Dt;

t_{ср i} = (t_i + t_i+1)/2

t_i - время в начале i-го интервала ;

t_i+1 - время в конце i-го интервала;

m = t_N / Dt;

t_N - время, в течение которого отказали все рассматриваемые элементы.

Параметр потока отказов определяют по формуле [2]

(1.13)

где - -число отказов за конечный отрезок времени (t₂ - t₁ ).

Для стационарных потоков можно применять формулу [2]

^* = 1 / Т ^* , (1.14)

где Т^* - оценка средней наработки на отказ.

Статистическую оценку средней наработки на отказ Т^* вычисляют по формуле [2]

Т^* = t / r(t), (1.15)

где r(t) - число отказов, фактически происшедших за суммарную наработку t .

1.4 Ремонтопригодность, долговечность и сохраняемость электрооборудования [2]

Показатели ремонтопригодности необходимы для ремонтируемых объектов. Для количественной оценки ремонтопригодности наиболее часто применяются следующие показатели: P(t_в) - вероятность того, что среднее время восстановления не превысит заданной величины (определяется по ранее приведенным формулам для вероятности безотказной работы) и Т_в - среднее время восстановления

(1.16)

где - среднее время восстановления i-го объекта;

f () - плотность распределения времени восстановления.

Если в процессе эксплуатации ведется учет отказов времени ремонтов, то среднее время восстановления по статистическим данным можно определить по формуле

(1.17)

где n - количество отказов за время t.

Под долговечностью понимается свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технических обслуживаний и ремонтов. Для количественной оценки долговечности обычно используются такие показатели как средний срок службы и средний ресурс. Следует различать доремонтный, межремонтный, послеремонтный и полный срок службы (ресурс).

Полный срок службы - математическое ожидание срока службы от начала эксплуатации до наступления предельного состояния

(1.18)

При наличии статистических данных указанный показатель определяется по формуле

(1.19)

где t_{сл i} - срок службы i-го объекта;

N - количество объектов.

По аналогичным формулам рассчитывается ресурс, представляющий наработку объекта.

Сохраняемость важна для электрооборудования с длительным сроком хранения (установки для сортировки зерна, стригальные машины и др.). Для оценки сохраняемости можно использовать показатели аналогичные показателям долговечности:

cредний срок сохраняемости

(1.20)

1.5 Комплексные показатели надежности [1]

Помимо единичных показателей надежности, для оценки эксплуатационных характеристик электрооборудования часто используются обобщенные (комплексные) показатели надежности, которые относятся одновременно к нескольким свойствам.

Для оценки степени использования электрооборудования при возникновении неплановых режимов применяется коэффициент готовности (k_г). Он характеризует два свойства - безотказность и ремонтопригодность. Коэффициент готовности - это вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени. Стационарное значение коэффициента готовности определяется по формуле

K_г = Т/ (Т+Т_в) , (1.21)

и характеризует относительное время нахождения электрооборудования в исправном состоянии.

Степень выполнения своих задач электрооборудованием, находившимся в режиме ожидания, может быть оценена коэффициентом оперативной готовности (k_ог). Коэффициент оперативной готовности -это вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени и, начиная с этого времени, будет безотказно работать в течение заданного интервала. Следовательно

k_ог = k_г Р(t). (1.22)

Входящие в выражение (1.24) сомножители определяются по ранее приведенным формулам.

Для комплексной оценки надежности работы электрооборудования применяется коэффициент технического использования (k_{т и}). Коэффициент технического использования - отношение математического ожидания времени работоспособного состояния объекта за некоторый период времени к суммарному времени работоспособного состояния и плановых и неплановых простоев

k_{т и}= Т_е/( Т_е+ Т_Ре+ Т_ТОе), (1.23)

где Т_е - суммарная наработка объекта; Т_Ре - суммарное время простоев из-за плановых и неплановых ремонтов; Т_ТОе - суммарное время простоев из-за плановых и неплановых технических обслуживаний.

По сравнению с коэффициентом готовности коэффициент технического использования является более общим и универсальным показателем.

1.6 Надежность систем из последовательно и параллельно соединенных элементов [1]

Сложное техническое устройство состоит из нескольких отдельных частей или комбинации разных групп однотипных элементов. Каждая составная часть устройства обладает в течение заданного промежутка времени разным уровнем вероятности безотказной работы (или надежности). От определенного сочетания этих надежностей зависит общий уровень надежности всего устройства. Например. электрическая машина состоит из следующих основных частей: магнитопровод, обмотка статора и ротора, подшипников. Отказ любой из частей приводит к выходу из строя всей машины.

Для расчета вероятности безотказной работы машины как целого устройства в течение заданного промежутка времени нужно знать к какому типу соединения (в смысле теории надежности) принадлежит комбинация этих частей - к последовательному или параллельному.

Электрическая машина относится к устройству с последовательно соединенными элементами, т.к. выход любой из этих частей из строя приводит к отказу всей машины.

Если предположить отказы частей устройства независимыми, то на основании теорем теории вероятностей можно представить следующие уравнения для расчета надежности, например комбинации из двух частей P₁(t) , P₂(t) - надежность одного и другого элемента системы; Q₁(t), Q₂(t) - отказ одного и лругого элемента системы.

Вероятность того, что оба элемента в последовательной системе будут работать безотказно в течение заданного промежутка времени будет выглядеть так:

Р_пс( t ) = P₁(t) P₂(t), (1.24)

Вероятность того, что в последовательной системе один или оба элемента откажут

Q_пс(t) = 1 - Р_пс( t ), (1.25)

или Q_пс(t) = 1- P₁(t) P₂(t),

Согласно уравнению (2.1) отказ любого элемента приводит к отказу системы.

Вероятность того, что будут работать один или два элемента системы при параллельном соединении.

Р_пр( t ) = P₁(t) + P₂(t) + P₁(t) P₂(t) (1.26)

Вероятность того, что оба элемента откажут при параллельном соединении

Q_пр(t) = Q₁(t) Q₂ (t) = 1- Р_пр( t ) (1.27)

Параллельное соединение элементов иначе называется системой с постоянно нагруженным резервом. Такая параллельная система из двух элементов не отказывает в работе, если отказал один из элементов.

1.7 Решение типовых примеров

Пример 1. Наработка до отказа щита управления электрооборудованием подчинена экспоненциальному закону с интенсивностью отказов (t) = 1,310^-5 ч^-1. Определить количественные характеристики надежности устройства P(t), f(t) и T₁ в течение года.

Решение. 1. По формуле P ( t ) = exp (-lt ) определяем

Р(8760) = = 0,89.

2. f(t) = (t) P(t) = 1,3 10 ^-5 0,89 = 1,16 10 ^-5 ч ^-1

Т₁ = 1/ = 1/(1,3 10 ^-5) = 76923 ч.

Пример 2. Сравнить между собой наработку до отказа двух неремонтируемых объектов, имеющих функцию надежности, определяемую по формулам

Р₁( t ) = ехр-(2,5 10 ^-3 t) и Р₂ ( t ) = 0,7ехр - (4,1 10^-3 t) + 0,08ехр - (0,22 10 ^-3 t).

Решение. По общей формуле для определения наработки до отказа

находим

Наработка до отказа второго объекта выше, чем первого.

Пример 3. Вероятность безотказной работы машины постоянного тока на этапе приработки подчиняется распределению Вейбулла с параметрами ₀ = 210^-4 ч^-1 и b = 1,2. Определить вероятность безотказной работы и наработку до отказа машины за время t = 400 ч.

Решение. 1. Р( t ) = exp- (₀t^b) = exp-(2 10^-4 400^1,2) = 0,767

T₁ = ₀^-1/bГ(1+1/b) = (2 10^-4 )^-1/1,2Г(1+1/1,2) = 1126 ч.

Значения гамма-функции взято по табл.2 приложения.

Пример 4. На испытаниях находилось N= 1000 осветительных приборов. За время t = 3000 ч отказало n = 200 изделий. За последующие t_i = 200 ч отказало еще n_i = 100 изделий. Определить Р^*(3000), Р^*(3200), f^*(3200), ^*(3200).

Решение

1.

Пример 5. Прибор состоит из четырех блоков. Отказ любого из них приводит к отказу прибора. Первый блок отказал 9 раз в течение 21000 ч, второй - 7 раз в течение 16000 ч, третий - 2 раза и четвертый - 8 раз в течение 12000 ч работы. Определить наработку на отказ, если справедлив экспоненциальный закон надежности.

Решение. 1. Определяем суммарную наработку прибора

t = 21000 + 16000 + 12000 + 12000 = 61000 ч.

Определяем число отказов за суммарное время наработки

r ( t ) = 9 + 7 + 2 + 8 = 26

Находим среднюю наработку на отказ

Т^* = t / r ( t ) = 61000 / 26 = 2346 ч.

Пример 6. При эксплуатации электрооборудования животноводческой фермы зарегистрировано 20 отказов, из них: электродвигателей - 8, магнитных пускателей - 2, реле - 4, электронагревательных приборов - 6. На ремонт затрачивалось: электродвигателей - 1,5 ч, магнитных пускателей - 25 мин, реле - 10 мин, электронагревателей - 20 мин. Найти среднее время восстановления.

Решение 1. Определяем вес отказавших элементов по группам m_i = n_i/N_o

m₁ = 8/20 = 0,4; m₂ = 2/20 = 0,1; m₃ = 4/20 = 0,2; m₄ = 6/20 = 0,3.

Находим среднее время восстановления

Т_В^*= 90 0,4 + 25 0,1+10 0,2+20 0,3 = 46,5 мин

Пример 7. В результате наблюдения за работой 1000 электродвигателей в течение 10000 ч было получено значение = 0,810 ^-4 ч ^-1. Закон распределения отказов экспоненциальный, среднее время ремонта электродвигателя равно 4,85 ч. Определить вероятность безотказной работы, наработку до первого отказа, коэффициент готовности и коэффициент оперативной готовности.

Решение.

1. Р ( t ) = е ^{- t} = e ^{- 0,810^-4 10^4} = 0,45

T₁ = 1/ = 1250 ч.

k_г = Т₁ / (Т₁ + Т_в) = 1250/(1250 +4,85) = 0,996

k_ог = Р( t )k_г = 0,45 0,996 = 0,448

Пример 8. Навозоуборочный транспортер имеет 2 электродвигателя. Суммарная наработка транспортера за год составляет 200 ч. Эксплуатационные мероприятия включают в себя 1 текущий ремонт продолжительностью 3 ч на каждый электродвигатель и 7 технических обслуживаний по 0,5 ч на каждый электродвигатель. Определить коэффициент технического использования электродвигателей навозоуборочного транспортера.

Решение

Пример 9. Тиристорный преобразователь имеет параметры усеченного нормального распределения m= 1200 ч и _t = 480 ч. Определить значение вероятности безотказной работы и интенсивности отказов для t = 200 ч.

Решение

Значения Ф(2,08) и Ф(2,5) найдем по табл. 1 приложения. Тогда Р(200) = 0,982/0,993 = 0,988.

Эти зависимости пригодны для исследования электрических машин как в целом, так и поэлементно.

Пример 10. Необходимо произвести приближенную оценку вероятности безотказной работы Р(t) и среднюю наработку до первого отказа Т_о асинхронного электродвигателя для двух промежутков времени его работы t = 1000 и 3000 ч, если интенсивность отказов = 20 10 ^-6 ч ^-1.

Решение

Т₁ = 1/ = 10 ⁶ /20 = 5 10 ⁴ ч.

При Р ( t ) = е ^-(t/10)

Р₍₁₀₀₀₎ = = е ^{- 0,02} = 0,98

Р₍₃₀₀₀₎ == е ^{- 0,06} = 0,94

Пример 11. Для системы автоматического управления известно

= 0,01 ч ^-1 и время работы t = 50 ч. Определить:

Р ( t ); Q ( t ); f ( t ); T₁.

Решение:

Р ( 50 ) = е ^{- t} = е ^{- 0,0150} = е ^{- 0,5} = 0,607

Q ( 50 ) = 1 - Р ( 50 ) = 1 - 0,607 = 0,393

Т₁ = 1/ = 1 / 0,01 = 100 ч.

f ( 50 ) = е ^{- t} = 0,01 е ^{- 0,0150} = 0,00607 ч ^-1.

Пример 12. Определить конструкционную надежность электродвигателя постоянного тока для трех промежутков времени его работы: t₁ = 1000 ч., t₂ = 3000 ч., t₃ = 5000 ч о следующим средним статистическим данным об интенсивности отказов основных её частей в долях единицы на час работы: магнитная система с обмоткой возбуждения ₁ = 0,0110^-6 ч ^-1 ; обмоткой якоря ₂ = 0,05 10 ^-6 ч ^-1; подшипники скольжения ₃ = 0,4 10^-6 ч ^-1 ; коллектор ₄ = 3 10^-6 ч ^-1 ; щеточное устройство ₅ = 1 10^-6 ч ^-1 .

Решение. Определим среднюю результирующую интенсивность отказов всех частей машины

= ₁ + ₂ + ₃ + ₄ + ₅ = (0,01+0,05+0,4+3+1)10^-6 = 4,46 10^-6 ч ^-1 .

Средняя наработка до первого отказа машины

Т₁ = 1/ = 10⁶ / 4,46 = 2,2410⁵ ч.

Вероятность безотказной работы или конструкционная надежность рассматриваемой машины для трех промежутков времени работы будет

Р₍₁₀₀₀₎ =

Р₍₃₀₀₀₎ = е ^{- 0,014} = 0,988

Р₍₅₀₀₀₎ = е ^-0,022 = 0,975

Статистическая оценка интенсивности отказов может быть определена отношением числа отказавших изделий к моменту времени t к числу изделий поставленных на эксплуатацию (в начале испытания).

Например, испытанию подверглись 100 дверей шахты лифты и в интервале между седьмыми и восьмыми сутками испытаний было зарегистрировано 46 отказов. Тогда = 46/100 = 0,46 отказа за сутки на дверь шахты для оговоренного интервала времени.

Пример. 13. Определить вероятность безотказной работы узла, состоящего из трех элементов, у которых вероятность безотказной работы Р₁ = 0,92; Р₂ = 0,95; Р₃ = 0,96

Решение

Р_узла(t) = Р₁(t) Р₂(t) Р₃(t) = 0,92 0,95 0,96 = 0,84

Она меньше, чем вероятность безотказной работы самого надежного элемента.

Даже если взять 4 элемента и у четвертого элемента Р₄ ( t ) = 0,97, то

Р_узла(t) = 0,92 0,95 0,96 0,97 = 0,81

При последовательной системе соединения элементов лучше иметь меньше элементов в цепи

Р_у = 0,92 0,95 = 0,874

При параллельном соединении

Р_узла(t) = Р₁(t) + Р₂(t) - Р₁(t) Р₂(t) = 0,92 + 0,95 - 0,92 0,95 = 1,87 - 0,874 = 0,996.

2.Определение резервного фонда электрооборудования [2]

2.1 Использование теории массового обслуживания для решения эксплуатационных задач

Решение ряда задач эксплуатационного характера по оперативному обслуживанию электрооборудования, снабжению ЭТС запасными частями, работе участков по ремонту электрооборудования и в других случаях удобно выполнять с использованием теории массового обслуживания.

Под системой массового обслуживания (СМО) будем понимать любую систему, предназначенную для обслуживания потока требований. Ограничимся рассмотрением пуассоновских СМО с простейшим потоком требований.

Работа СМО определяется следующими параметрами:

числом каналов n,

плотностью потока заявок l,

плотностью потока обслуживания одного канала m,

числом состояний системы k.

При этом m= 1/Т_о , (2.1)

где Т_о - среднее время обслуживания одной заявки.

Системы массового обслуживания делятся на системы с отказами и системы ожиданием. В системах с отказами заявка, поступающая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем обслуживании не участвует. В системе с ожиданием заявка, заставшая все каналы занятыми, не покидает систему, а становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-либо канал.

СМО с отказами

Вероятность состояния СМО с отказами определяется по формуле Эрланга

, (2.2)

где - приведенная плотность потока заявок.

Вероятность отказа (вероятность того, что поступившая заявка найдет се каналы занятыми)

(2.3)

Для одноканальной системы

(2.4)

СМО с ожиданием

В практике работы эксплуатационных служб такие системы встречаются наиболее часто. Для СМО с ожиданием обычно определяют вероятности состояний, среднюю длину очереди, среднее время пребывания в очереди.

Вероятности состояний СМО с ожиданием при установившемся режиме работы рассчитывают по формуле

(2.5)

Вероятность наличия очереди

R_o = 1-(P₀+P₁+P₂+ … + P_n) (2.6)

Средняя длина очереди

(2.7)

Среднее время пребывания в очереди

t₀ = m₀/l (2.8)

2.2 Аналитический метод расчета резервного фонда электрооборудования

В практике решения задач о количестве запасных элементов для технических систем широкое распространение получил упрощенный аналитический метод.

При экспоненциальном законе распределения длительности безотказной работы и простейшем потоке отказов вероятность того, что имеющихся в хозяйстве запасных элементов хватит для обеспечения надежной работы системы в течение времени t , определяется по формуле

Р_km(t)=, (2.9)

а вероятность того, что число отказов за время t будет больше числа резервных элементов

Р_km(t) = 1- Р_km(t) (2.10)

Значение функции распределения Пуассона Р_km(t) для различных значений t и m приведены в табл. 3 приложения.

Поскольку процесс отказов электрооборудования носит случайный характер, достаточность имеющегося резервного фонда для обеспечения надежной работы электроприемников задается с определенной вероятностью. Обычно достаточность резервного фонда Р_д находится в диапазоне 0,9...0,99. Расчет необходимого запаса резервных элементов для неремонтируемого и ремонтируемого электрооборудования выполняется в следующей последовательности.

Неремонтируемое электрооборудование

1.Принимаются следующие исходные условия: поток отказов оборудования простейший, отказавшие элементы заменяются, интенсивность отказов i-го изделия _i, число изделий i-го типа n_i, достаточность резервного фонда Р_д.

Определяется суммарная интенсивность отказов i-го изделия

_i=_i n_i. (2.11)

Зная заданное время работы системы , рассчитывается параметр распределения Пуассона а=_it.

По табл. 3 приложения для заданного значения а определяется число резервных элементов такое, чтобы 1- Р_km(t)Р_д.

Ремонтируемое электрооборудование

Процесс использования и пополнения запаса для такого оборудования отличается тем, что вышедшие из строя изделия подвергаются ремонту в течение времени Т_р и поступают снова в резервный фонд. Вычисление объема запасных частей в этом случае ведется следующим образом.

По заданной интенсивности отказов элементов и их количеству определяется суммарная интенсивность отказов.

С учетом времени ремонта Т_р и суммарной интенсивности отказов устанавливается параметр распределения Пуассона а=Т_р.

Используя табл. приложения, выбирается число резервных элементов m с таким расчетом, чтобы Р_km(t)Р_д.

2.3 Решение типовых примеров

Пример 1. Система диспетчерской связи энергосистемы имеет 5 каналов. В систему поступает простейший поток заявок с плотностью = 4 вызова в минуту. Средняя продолжительность разговора 3 минуты. Определить вероятность застать систему диспетчерской связи занятой.

Решение. 1. Определяем приведенную плотность потока заявок

= / = Т_о = 4 3 = 12

По формуле

определяем Р_отк = 12! / [5!(1+12/1+12²/2!+12³/3!+12⁴/4!+12⁵/5!)] = 0,63

Пример 2. Заданы параметры микропроцессорной системы: число каналов - 3, интенсивность потока обслуживания = 20 с^-1, суммарный входящий поток заявок = 40 с^-1. Определить вероятность предельного состояния и среднее время ожидания заявки в очереди. Принять СМО с неограниченной очередью.

Решение. По условию примера определяем = / = 40/20 = 2, т.к. <n, то режим системы установившийся.

Рассчитываем Р_k для k=n=3

Для оценки среднего времени нахождения в очереди вначале определим среднюю длину очереди

m₀ = 2⁴/{33!(1-2/3)²[1+2/1+2²/2+2³/3!+2⁴/4!(3-2)]} = 0,9

Определяем среднее время ожидания заявки в очереди

t₀ = m₀ / = 0,022 с.

Пример 3. В свинарнике - откормочнике на 3750 мест для обеспечения микроклимата используется комплект оборудования “Климат” с 20 электродвигателями серии 4А мощностью 1,1 кВт и частотой вращения 1500 мин^-1. Интенсивность отказов электродвигателей = 10 ^-5 ч^-1, среднее время капитального ремонта отказавшего электродвигателя 30 суток. Определить резервный запас электродвигателей для свинарника, исключающий аварийный простой технологического процесса поддержания микроклимата сверх допустимой нормы t_д = 3 ч. Принять k_и = 0,6.

Решение. 1.Для заданного среднего времени ремонта электродвигателя Т_р = 30 суток определяем

= 1/Т_р = 1/(3024) = 1,38 10^-3 ч^-1, тогда

= / = 10^-5/ 1,38 10^-3 = 0,72 10^-2

Из выражения t_П = n_Пk_и/(n- n_П) c учетом того, что n_Пn определяем

n_П t_П n/ k_и = 3 10^-5 20/0,6 = 10^-3.

3. По табл. 5 приложения для n=20, = 0,7210^-2, n_П = 10^-3 устанавливаем, что в резерве необходимо иметь 4 электродвигателя. Для 4 электродвигателей среднее число простаивающих технологических процессов n_П t_Пn / k_и = 0,0004.

Проверяем соответствие t_д взятому приближенно t_П

t_П = n_Пk_и/(n- n_П) = 0,0004 0,6 / 10^-5(20-0,0004) = 1,2 ч < t_д.

Если взять 3 резервных электродвигателя, то n_П= 0,0019 и

t_П=n_Пk_и/(n- n_П)= 0,0019 0,6 / 10^-5(20-0,0019) = 5,7 ч > t_д.

Таким образом, для выполнения заданных ограничений по продолжительности перерывов в работе системы микроклимата свинарника необходимо иметь 4 резервных электродвигателя.

Пример 4. На вычислительной станции сельскохозяйственного предприятия установлено 4 ЭВМ. Средняя интенсивность на выполнение расчетов - 4 заявки в час ( = 4). Среднее время решения одной задачи Т_о = 0,5 ч. Станция принимает и ставит в очередь на решение не более 4 заявок. Заявки, поступившие на станцию, когда в очереди находится более 4 задач, получают отказ. Определить вероятность отказа и вероятность того, что все ЭВМ свободны.

Решение. 1. Имеем многоканальную СМО с ожиданием при ограниченном числе мест в очереди.

Предварительно вычисляем

= 1/Т_о = 1/0,5 = 2 ч^-1, = / = 2.

По формуле (3.3) определяем вероятность того, что все 4 ЭВМ заняты и 4 заявки стоят в очереди, тогда n=8.

Р_отк = 2⁸/[8!(1+2/1+2²/2!+2³/ ...........