Движение несвободной частицы. Силы реакции
Несвободной называется материальная точка, на движение которой (координаты и скорость) наложены некоторые ограничения. Всякий механизм является примером несвободной системы материальных точек.
Связями называются ограничения движений материальных точек, не зависящие от начальных условий движения и системы приложенных сил. Связи делятся на двухсторонние и односторонние ( 1.физический маятник из твердого стержня; 2.математический маятник на нити).
Связи бывают голономные (интегрируемые) и неголономные (они накладывают ограничения на скорость точек, неинтегрируемые).
Связи, ограничивающие перемещения материальных точек, действуют на эти точки посредством сил, называемых силами реакции связей.
В задачах динамики несвободной материальной точки пользуются принципом освобождения от связей. Отбрасывая мысленно связи, включают силы реакций связей в число задаваемых сил. При этом несвободная материальная точка рассматривается как свободная, движущаяся под действием задаваемых сил и сил реакций связей.
Динамика системы частиц. Движение центра масс, закон сохранения импульса системы.
Центром масс (или центром инерции) механической системы называется воображаемая точка, которой приписывается масса всей системы и положение которой определяется радиусом-вектором:
(*)
Скорость и ускорение центра масс (ЦМ) можно получить дифференцированием предыдущей формулы по времени.
Импульсом механической системы называется сумма импульсов точек системы:
Из (*) следует, что (**)
Определим уравнения движения центра масс. Из (**) следует:
где по третьему закону Ньютона.
Итак,
Отсюда получаем закон изменения импульса системы:
По аналогии со случаем одной частицы, можно утверждать, что если проекция силы не некоторую неподвижную ось в любой момент времени равна нулю, то проекция импульса системы или проекция скорости центра масс системы на ту же ось сохраняется. Следовательно, в направлении этой оси центр масс движется равномерно.
В случае изолированной (замкнутой) системы материальных точек =0 (по определению). Отсюда следует, что
Мы получили закон сохранения импульса замкнутой системы.
Центр масс замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно, и внутренние силы не могут изменить скорости (импульса) системы.
Закон сохранения кинетического момента системы
Уравнение движения каждой материальной точки системы умножим слева векторно на радиус- вектор этой точки . Учитывая определения момента импульса и момента силы , получаем:
,
где называется кинетическим моментом системы;
Учитывая 3-й закон Ньютона, имеем:
Таким образом, получаем:
Закон изменения кинетического момента системы читается так:
Производная по времени кинетического момента системы равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему.
Если При помощи секторной скорости это же запишется так:
В случае замкнутой системы Мы получили закон сохранения кинетического момента замкнутой системы. Под действием внутренних сил кинетический момент замкнутой системы не изменяется.
Закон сохранения и превращения механической энергии системы частиц
Умножим уравнение движения материальной точки системы на ее элементарное перемещение , учтем деление сил на внутренние и внешние. Тогда изменение кинетической энергии частицы произойдет за счет работы как внутренних, так и внешних сил:
Для всех частиц системы ( в силу аддитивности энергии и работы):
Дифференциал (изменение) кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ внутренних и внешних сил, действующих на частицы системы.
Представим потенциальную энергию системы в виде слагаемых:
где первое слагаемое обусловлено взаимодействием частиц системы между собой, а второе слагаемое -потенциальная энергия частиц во внешнем поле.
Полная механическая энергия системы равна:
E=T+U.
В случае, когда частицы системы находятся в поле потенциальных сил, явно не зависящих от времени dU/dt=0.
С учетом этого условия, после умножения каждого уравнения движения каждой материальной точки системы на ее скорость и суммируя все эти уравнения, получим:
Это уравнение утверждает, что в замкнутой системе материальных точек, находящихся в стационарном потенциальном поле, в процессе движения сохраняется скалярная величина :
Такие системы называются консервативными.
Закон сохранения и превращения механической энергии является частным случаем всеобщего закона природы - закона сохранения и превращения энергии (ЗСПЭ).
Итак, мы имеем 7 уравнений, выражающих законы сохранения и изменения в механической системе:
При определенных условиях они приводят к законам сохранения. В случае замкнутой системы при отсутствии внутренних превращений механической энергии в другие виды энергии, законы сохранения дают 7 первых интегралов и 3 вторых интегралов движения:
т.е. десять классических интегралов механики.
Все законы сохранения были получены из уравнений движения Ньютона. Поэтому они связаны со свойствами пространства и времени, которые постулируются в классической механике.
Сохранение импульса связано с однородностью пространства, в силу которой механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого.
Сохранение момента связано с изотропией пространства, в силу которой механические свойства замкнутой системы не изменяются при любом повороте системы как целого.
Сохранение механической энергии связано с однородностью времени, в силу которой механические свойства замкнутой системы не меняются при любом «переносе» системы во времени.
Теорема Кёнига
Эта теорема утверждает, что кинетическая энергия механической системы может быть представлена в виде суммы двух слагаемых: кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии движения частиц относительно ее центра масс, т.е.
(*)
Для доказательства этого утверждения воспользуемся известным соотношением (классическая теорема сложения скоростей):
Подставим это соотношение в формулу, определяющую кинетическую энергию системы:
Учитывая, что в СО «Центр масс» суммарный импульс (последнее слагаемое в предыдущей формуле) равен нулю, тотчас же получаем искомое выражение (*).
С помощью теоремы Кёнига полную механическую энергию системы материальных точек можно записать так:
где - внутренняя энергия системы.
|
