МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ

СТАВРОПОЛЬСКИЙ КРАЕВОЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ

КВАЛИФИКАЦИИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра естественнонаучных дисциплин

Козлов С.А., Киселёв В.В., Коваленко Л.Г.

ПРИМЕНЕНИЕ РЕШЕБНИКОВ

В УЧЕБНОЙ ПРАКТИКЕ

Методические рекомендации

для учителей физики

Ставрополь - 2007

ББК

УДК

С.А.Козлов, В.В.Киселёв, Л.Г.Коваленко. Применение решебников в учебной практике. Методические рекомендации для учителей физики

Ставрополь, СКИПКРО, 2007, 36 с.

В связи с широким распространением различного рода решебников и сборников рефератов в печатном и электронном виде перед учителями встал ряд дополнительных проблем, не встречавшихся ранее в практике преподавания соответствующих дисциплин. Настоящая работа содержит попытку оценить дидактический потенциал материалов такого рода, а также некоторые рекомендации по их применению в учебном процессе. Выводы подкреплены примерами, полученными при анализе ряда решебников. Работа, подготовленная физиками и для физиков, может представить интерес для учителей других предметов.

© С.А.Козлов, канд.ф.-м.н., доцент кафедры ЕНД СТИС и СКИПКРО

В.В.Киселёв, ст.пр. кафедры ЕНД СТИС

Л.Г.Коваленко, ст.пр. кафедры ЕНД

Рецензент: Беджанян М.А., канд. ф.-м.н., доцент СГУ

Печатается по решению Научно- методического

совета СКИПКРО. Протокол № от .

Введение

В последние десятилетия в связи с облегчением процесса книгоиздательства и развитием информационных технологий значительно возросли объем и доступность учебной информации. Никогда ранее не появлялось столько книг, содержащих решения задач к стандартным задачникам, диктантов, сочинений, рефератов и курсовых работ по всем учебным дисциплинам. Если в прежних школьных и вузовских задачниках доля решенных задач исчислялась процентами, затем она, медленно прирастая, достигала в ряде задачников десяти процентов. В настоящее время стало обычным явлением, когда авторы учебников и сборников задач выпускают дополнительно специальные пособия, содержащие решения всех задач, находящихся в их учебниках и задачниках. Такого рода пособия принято называть решебниками. Изданы также решебники, не имеющие под собой основы в виде сборника задач, но содержащие типичные задачи школьного курса физики среднего уровня сложности и трудности. Если дополнить этот перечень издаваемыми в периодической печати образцами задач с олимпиад и вступительных экзаменов различных вузов с подробнейшими решениями, то картина становится впечатляющей.

Изобилие и доступность готовых решений в значительной мере изменили педагогическую ситуацию - сократилось поле самостоятельной работы, затруднен контроль качества знаний и умений школьников и студентов. Есть опасение, что уже не осталось вопросов и задач по учебным предметам, на которые с помощью таких пособий нельзя было бы найти готовых сочинений, рефератов, докладов и решений.

Насколько педагогически обоснованы такие пособия? Помогают ли они преподавателю, учебному процессу и образованию в целом? Кстати, в выходных данных большинства таких изданий нет грифа УМО Министерства образования РФ. Не следует ли отсюда, что они не проходили научно-методическую экспертизу?

Вопрос этот далеко не праздный - пособия издаются большими тиражами, их массированное педагогическое воздействие уже началось. Опросы показывают, что преподаватели с большим опытом работы, придерживающиеся традиционного стиля обучения, считают эти пособия безусловно вредными, а соответствующий бум в их производстве - гримасой рыночных отношений, неоправданно широко проникших в сферу образования. Но так же очевидно и то, что прекратить издание таких пособий не удастся - рынок есть рынок. Поэтому представляется целесообразным провести психолого-педагогический анализ сложившейся ситуации с целью выявления всех ее плюсов и минусов. И, если за решебниками будет признано право считаться учебными пособиями, то:

а) определить оптимальные педагогические требования к их содержанию и структуре и в полной мере обеспечить ими школы;

б) внести на основе этого анализа специфические рекомендации для школьных учителей и для преподавателей педвузов.

Попытке решения этой проблемы посвящена настоящая работа. Здесь мы рассмотрим узкую предметную область - решение физических задач, полагая, что многие выводы будут применимы к другим учебным дисциплинам и видам пособий такого рода. Вначале мы предлагаем небольшой обзор мнений о влиянии готовых решений на качество и скорость обучения. Затем изложим результаты анализа некоторых решебников, в какой-то мере иллюстрирующие сложившуюся ситуацию и наши суждения о ней.

Мнение 1. Размышления над готовым решением задачи

полезны по многим причинам

Очевидно, что наличие «решебника» перемещает центра тяжести с самостоятельного решения новых задач на разбор задач, выполненных профессионалами. А это несет в себе ряд совершенно новых моментов. «Когда задача решена, ее очищают от промежуточных, поисковых действий, как освобождают здание от «строительных лесов», которые помогали его строить. Описание решения сжимается, лаконизм и простота придают особую «красоту» всей задаче. А это - немаловажное качество для ее запоминания - красивое помнится дольше, к нему приятно возвращаться, в нем меньше загадочного и непонятного». Б.А.Мигдал, Заметки о психологии творчества, М. Педагогика, 1986.

«Разбор готового решения - это средство «соблазнить» читателя заняться решением задач и побудить его задуматься над методом и средствами, которые он при этом применяет» Д.Пойа, Математическое открытие, М., Педагогика, 1984. . « Крупное научное открытие даёт решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует частица открытия… Если вы решаете её собственными силами, то сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума насладиться радостью победы» Д.Пойа, Как решать задачу, М., 1959..

Работа с известной задачей более приятна, комфортна, поскольку требует меньших напряжений и не грозит осложнениями и чувством неуверенности. Поэтому:

а) на таких задачах можно задерживаться дольше и охватывать больший объем учебного материала;

б) наличие готового решения открывают возможность задавать для домашнего выполнения трудные и сложные задачи в большом количестве;

в) увеличение количества рассматриваемых задач способствует формированию прочных и многочисленных алгоритмов и навыков;

г) обилие усвоенных алгоритмов непроизвольно потребует их обобщения и систематизации, а это - обязательная ступень при переходе от репродуктивного к исследовательскому типу мышления.

Уже этот, по-видимому, далеко не полный перечень плюсов «решебника» вполне достаточен для признания их психологических и методических достоинств.

Мнение 2. Решебники пагубно влияют на учебный процесс

и качество обучения решению задач

Так считают многие преподаватели. Вот некоторые основания для такого утверждения:

а) в подавляющем большинстве «решебников» в описании решения приводятся только формулы и рисунки, в то время как анализ физической ситуации отсутствует, в объяснении решения используется не весь, а только рабочий базис. Между тем известно, что решение каждой новой учебной задачи предполагает обязательный выход за рамки задачной информации, при этом в действиях учащихся используется весь запас имеющихся у него знаний.

б) если в пособии обсуждается единственный вариант решения (что характерно для подавляющего числа «решебников»), то нет мысленного поиска прецедентов, не выявляются признаки сходства и различия с аналогами, ученик не привлекается к составлению плана решения. Все это обрекает ученика на пассивность и не способствует формированию навыков альтернативного, творческого стиля мышления.

в) пользуясь таким учебным пособием учащиеся освобождают себя от напряженного поиска, и, следовательно, не получают такого удовлетворения от успеха, как при самостоятельном решении. Известно также, что напряженная работа - одно из ключевых требований в теории развивающего обучения.

г) решения задач, представленные в хорошо отредактированном и лаконичном стиле, создают обманчивое представление легкости как процесса решения данной задачи, так и обучения в целом, что препятствует объективной самооценке учащихся и не способствует воспитанию у них воли и настойчивости.

д) в связи с широким распространением и доступностью «решебников» учитель лишен возможности адекватно оценить текущую успеваемость, качество знаний и, особенно, умений учащихся. Со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Мнение 3. Не всякая задача и не всякое объяснение решения

одинаково эффективно обучают и развивают

Приведенный выше перечень минусов, по-видимому, не полон и его можно продолжить. Тем не менее, многие из недостатков можно отнести к «трудностям роста». Потенциал «решебников» таков, что они могут занять заметное место в системе обучения. Важно только, чтобы по содержанию и стилю они удовлетворяли неким психолого-педагогическим критериям и нормам, а учитель был подготовлен к работе с ними.

Содержание решебника (подбор задач, выбор общего стиля и правил описания решений) должны отвечать определенным нормам и критериям. Нельзя, например, считать достаточным решение без анализа физической ситуации, обоснования применяемых моделей, законов и соотношений («формульное» решение). Очень важно, например, установить, насколько детальным и подробным должно быть описание решения. При решении задач мы непременно используем понятия, суждения принципы, правила и законы. Само решение - это пример, демонстрация доказательства. С позиций классической логики в каждой задаче можно выявить три основные части доказательного суждения: тезис (чаще всего это ответ задачи), аргументы (это законы, соотношения и связи между явлениями) и рассуждения. Именно рассуждения, логические демонстрации, проверяющие соответствие между аргументами и тезисом, являются основой развивающего обучения. Количество аргументов, используемых в доказательстве, определяют сложность, а размеры логических связей между ними и тезисом (длина рассуждений) определяют трудность задачи. Вместо полных силлогизмов мы используем сокращенные, опуская часть суждений ввиду их очевидности. Это ускоряет процесс решения. Но именно отсюда проистекают все наши ошибки и не только учебные. В учебном процессе нельзя бояться избыточности в объяснениях, более того, для него она должна быть одним из обязательных требований. Что касается решебников, то в них авторы, по нашему мнению должны быть просто «занудами» и не бояться проявлять это качество во всех частях решения задачи, включая

- детальный анализ физических явлений, явно или неявно изложенных в тексте задачи;

- соотнесение их с известными идеализированными ситуациями и законами;

- обоснование правомерности вводимых дополнительных условий, превращающих данный литературный текст в абстрактную, идеализированную модель физических процессов;

- лаконичную по форме, но полнейшую по существу демонстрацию окончательного плана поиска ответа:

- формулирование ответа таким образом, чтобы в нём нашли место исходный текст задачи, его конечная трансформированная интерпретация, полученный ответ и заключение о его соответствии реальному заданию.

По-видимому, такие же требования можно предъявить к математической части решения. Решение физических задач существенно расширяет тренировочное поле для математических упражнений. Здесь важно помнить о едином, физико-математическом образовании. По нашему мнению, не следует только перегружать задачи рутинными действиями из элементарной математики, а оптимальной можно считать такую долю математических действия, после которых, в конце процесса решения, ученики ещё помнят физическую составляющую этой задачи.

Как превратить решебник в учебное пособие?

1. Объяснение задачи не следует упрощать

Приведем решения некоторых задач для иллюстрации высказанных выше суждений. Начнём с задачи, предлагавшейся несколько лет назад абитуриентам МГУ. При этом зададимся целью в этой качественной по форме задаче показать в деталях весь ход рассуждений.

Задача 1. На железный сердечник намотаны две обмотки (рис. 1). Ползунок реостата перемещают вверх. Определите направление тока в амперметре.

Возможный вариант ответа:

1. Ток, текущий в первичной (левой) обмотке создает магнитное поле Открыто Эрстедом.

2. Магнитная проницаемость железного сердечника значительно больше, чем воздуха, поэтому линии магнитной индукции в основном замыкаются по сердечнику.

3. В соответствии с полярностью источника тока определяем направление тока в цепи первичной обмотки от «+» к «-» (рис. 2).

4. Направление намотки провода в первичной обмотке - по часовой стрелке, если смотреть «сверху».

5. Учитывая направление тока I₁ в первичной обмотке и направление ее намотки по правилу буравчика, определяем направление линий магнитной индукции магнитного поля первичной обмотки (на рисунке 2 показаны сплошной линией).

6. Линии магнитной индукции входят в верхнюю часть первичной обмотки, следовательно, в верхней части первичной обмотки находится южный магнитный полюс S₁ магнитного поля первичной обмотки.

7. Если магнитное поле, созданное первичной обмоткой, и пронизывающее вторичную обмотку, не меняется, то в ней не возникает ЭДС индукции закон электромагнитной индукции Фарадея.

8. Если во вторичной обмотке не действует ЭДС, то в ней не течет ток. Амперметр показывает нуль.

9. Если ползунок реостата перемещается вверх, то рабочая длина l используемого в реостате провода уменьшается в соответствии с рисунком.

10. Если длина металлического проводника уменьшается, то его сопротивление тоже уменьшается .

11. При уменьшении сопротивления проводника по закону Ома сила тока в нем увеличивается.

12. Следовательно, магнитный поток, созданный током первичной обмотки, увеличивается [Ф₁= LI₁].

13. Если магнитное поле, созданное первичной обмоткой, и пронизывающее вторичную обмотку, меняется, то в ней (вторичной обмотке) возникает ЭДС индукции закон электромагнитной индукции Фарадея е=- ДФ/ Дt .

14. Во вторичной обмотке возникает индукционный ток обмотка замкнута на амперметр.

15. Индукционный ток создает свое магнитное поле [Ф₂= LI₂]. Его силовые линии на рисунке 2 показаны пунктиром.

16. Так как магнитное поле, пронизывающее вторичную обмотку увеличивается, то индукционный ток во вторичной обмотке должен создавать магнитное поле такого направления, чтобы препятствовать увеличению магнитного поля первичной обмотки правило Ленца.

17. Следовательно, линии магнитной индукции магнитного поля индукционного тока в данном случае направлены против линий магнитного поля первичной обмотки.

18. Линии магнитной индукции магнитного поля индукционного тока входят в верхнюю часть вторичной обмотки. Там расположен южный магнитный полюс S₂.

19. Направление намотки провода во вторичной обмотке - против часовой стрелки, если смотреть «сверху».

20. Учитывая направление намотки и линий магнитной индукции вторичной обмотки, по правилу буравчика определяем направление тока I₂ .

Приведенное описание решения (из двадцати ступеней!) может показаться излишне подробным, более того, - нудным. Поэтому необходимо найти оптимальный уровень, золотую середину между подробным и очень подробным описанием решения, так, чтобы стиль изложения отличали ясность, лаконизм и точность. Но при этом важно отметить следующее. Перечень физических законов, правил, понятий и соотношений - в тексте они выделены квадратными скобками - это тот минимальный объем учебного материала по физике, без которого ответ нельзя признать полным и обоснованным. Это рабочий базис данной задачи.

Этот пример приведен с целью обоснования следующего тезиса - в решебнике при самом подробном описании задачи не бывает избыточной информации. Именно в этом и должно состоять одно из главных требований к решебнику - здесь все должно быть обосновано и учтено, операции с понятиями обозначены, аргументы и альтернативы приведены полностью. В обычной практике мы пользуемся сокращенными силлогизмами, опускаем всё то, что кажется нам тривиальным или несущественным в данных условиях. Тем самым мы ускоряем процесс изложение материала, но - и это очень важно - не ускоряем процесс мышления. В ходе мыслительных операций мы эти суждения и посылки отслеживаем и оцениваем, существенные мы оставляем и используем в устном или письменном решении. Заметим для себя, что устное объяснение мы всегда даём более подробно, чем письменное. Всё из тех же соображений экономии времени. Но, выиграв во времени, мы рискуем проиграть в точности решения, поскольку не учли какие-то сопутствующие явления и/или неправильно оценили их вклад конечные выводы.

Поэтому на этапе обучения сжатое (формульное) описание решений, характерное для большинства «решебников», не обосновано с позиции углубления теоретических знаний. Оно также непродуктивно с позиции развивающего обучения, поскольку процедура обоснования - это упражнение в мышлении, а отсутствие таковых препятствует развитию логики и интеллекта в целом. Только аналитическое по структуре рассуждений, построенное на строгой силлогистической основе, очищенное от излишних действий решение становится «пригодным к употреблению» - накладываясь на предыдущий опыт обучаемого, оно способствует очищению его индивидуальных алгоритмов от лишних деталей, создает новые («валентные») связи ассоциативного типа.

2. Решению должен предшествовать анализ сюжета задачи

Решение, не содержащее текстового пояснения и состоящее только из формул и математических действий, обучает сугубо ремесленным навыкам и приёмам. В её основе лежит ошибочный методический приём, который можно назвать так - «есть такая формула».

В качестве иллюстраций рассмотрим авторские варианты из учебных пособий нескольких авторов.

Задача 2. (№58 - Л В.Б.Лабковский, 220 задач по физике с решениями. 10-11., «Просвещение», 2006). «Маленький шарик скатывается с полусферы радиусом R. На какой высоте он оторвётся от сферы?

Решение. Пусть шарик отрывается от сферы в точке 2. Значит, в этой точке исчезает реакция опоры и остаётся только сила тяжести mg. Второй закон Ньютона имеет вид

Ось Х , как всегда при вращательном движении, направляем к центру траектории и проецируем уравнение на эту ось:

Из треугольника ОАВ

Из закона сохранения механической энергии

Решаем совместно два уравнения:

Ответ: »

Задача решена, ответ получен и на первый взгляд решение правильное. Однако отсутствует анализ физической ситуации и многие из возможных обстоятельств не учтены. Так например, для катящегося шарика необходимо учесть энергию вращения. Слабо прописаны параметры движения в момент отрыва. Краткость изложения не делает решение более понятным, и уж тем более не учит обстоятельности.

Эти недостатки базируются на следующей особенности мыслительного процесса, сопутствующего решению задачи. Мы здесь умышленно выделяем мыслительные операции, поскольку они протекают с очень высокой скоростью, и не всегда выливаются в устную и, тем более, письменную форму. Так вот, в ходе мысленного поиска ответа неизбежно затрагивается дополнительно обширный материал курса физики, как оказывается в дальнейшем, не играющий существенной роли в формировании ответа. Этот материал уместно отнести в общий базис задачи. Если этот базис принимается к обсуждению в ходе анализа условия задачи, то вероятность ошибки значительно уменьшается. В задаче №86 этого пособия, где также нет анализа физических процессов, вновь катятся шары, а в законе сохранения механической энергии записаны кинетические энергии только для поступательного движения.

Сравним теперь это решение с другим вариантом объяснения подобной же задачи.

Задача 3. (3.6. - Н Е.М.Новодворская, Э.М.Дмитриев, Методика проведения упражнений по физике во втузе, М., «Высшая школа», 1981.). «С вершины идеально гладкой сферы соскальзывает небольшой груз. С какой высоты h , считая от вершины, груз сорвётся со сферы? Радиус сферы R =90 см.

Анализ. Груз, который, очевидно, можно считать точечным телом, до некоторой точки - точки отрыва - движется по дуге окружности радиуса R. На груз во время его движения по сфере действует сила тяжести mg и сила нормального давления со стороны сферы. Уравнение второго закона Ньютона для этой части траектории имеет вид

(1)

Проекции этих сил на направление, нормальное к траектории, сообщают телу нормальное ускорение a_{n =} v²/R, где v - мгновенная ( и, очевидно, непрерывно возрастающая) скорость тела. В точке С отрыва прекращается взаимодействие между движущимся телом и поверхностью сферы и, следовательно, сила давления тела на сферу и соответственно сила реакции сферы N обращаются в нуль. (Начиная с этой точки тело движется только под действием силы тяжести и траектория его будет зависеть от модуля и направления скорости тела в точке отрыва от сферы.) Таким образом, в этой точке нормальное ускорение, однозначно зависящее от скорости, сообщает телу только проекция силы тяжести. Для того, чтобы определить высоту, на которой находится точка отрыва, надо найти связь скорости тела при его движении по сфере с его координатами, в частности с высотой. Такую связь можно найти, зная законы изменения со временем координат и скорости тела. Можно это сделать и рассматривая движение тела в поле силы тяготения Земли. Поскольку сила нормальной реакции работы не совершает, полная энергия тела остаётся неизменной, т.е.

ДE = ДK + ДU = 0. (2)

Очевидно, что применение закона сохранения энергии к переходу из начального состояния в точку отрыва даст в явном виде связь между скоростью тела и высотой рассматриваемой точки.

Решение. При скольжении груза по сфере потенциальная энергия его изменяется на

ДU =-mgh,

Где h - искомая высота, отсчитываемая от вершины сферы. Кинетическая энергия тела возрастает на

ДK = mv²_c /2 - mv²₀/2.

На вершине сферы груз находится в состоянии неустойчивого равновесия и скорость v₀, необходимую для начала движения, можно считать пренебрежимо малой. Тогда, подставляя найденные выражения в (2), получаем

-mgh + mv²_c/2 = 0 (3)

Чтобы от векторного уравнения (1) перейти к скалярным соотношениям, введём ось Х, направленную вдоль радиуса. Тогда a_x = a_n = v²/R. На основании уравнения (1) mv²/R = mghcosб - N. В точке отрыва от сферы a_n = v²_c/R, N=0, следовательно ,

mv²_c/R = mgcosб.

Как видно из рисунка, cosб = (R - h)/R. Тогда

mv²_c = mg(R-h). (4)

Уравнения (3) и (4) содержат скорость и высоту, относящиеся к одной и той же точке С, и образуют систему, совместное решение которой позволяет найти

h = R/3 = 0,3 м. Автор этого решения в своём пособии не выделяет и не приводит ответов к решениям задач.»

Мы привели дословное текстовое описание решения задачи. Как видим, оно отличается детальным анализом физической ситуации. Здесь приняты во внимание такие подробности, как точечные размеры груза (тем самым исключена необходимость учитывать расход энергии на вращение твёрдого тела). Здесь подчеркнуто отсутствие трения (отмечена идеальная гладкость поверхности сферы). Не упущен вопрос о начальном моменте (пренебрежимо малая начальная скорость тела). Прослежена картина изменения скорости и нормального ускорения. Приведено обоснование рабочей записи закона сохранения энергии - в неё не включена работа силы нормального давления. После такого детального анализа решение задачи не представляет значительной трудности, практически с этого момента идёт процесс письменного оформления решения.

Приведём из того же пособия ещё один пример подробного анализа физической ситуации, соответствующей сюжету задачи, а также детального обоснования всех действий, составляющих её решение.

Задача 4 (2.5.Н⁵). На наклонной плоскости находится груз т₁ = 5 кг, связанный нитью, перекинутой через блок, с другим грузом т₂ =2 кг (рис. 13). Коэффициент трения между первым грузом и плоскостью k= 0,1; угол наклона плоскости к горизонту б = 37°. Определить ускорения грузов. При каких значениях т₂ система будет находиться в равновесии?

Анализ. В задаче рассматриваются два тела, связанные нитью и совершающие поступательное движение. Если нить, как всегда, считать нерастяжимой, то ускорения этих тел равны по модулю:
а₁ = а₂.

На тело массы m₁ действуют сила тяжести m₁g, сила нормальной реакции N наклонной плоскости, сила натяжения Т₁ нити и сила трения f_ТР. Сила трения направлена в сторону, противоположную скорости тела; если же направление движения системы неизвестно, то нельзя указать направление силы трения. Но так как сила трения не может изменить направление движения на противоположное, то следует определить сначала направление движения при отсутствии трения, а затем уже решать задачу с учетом силы трения. Второй закон Ньютона для первого тела без учета силы трения имеет вид

m₁a_{1 =m1g +T1+N. (1)}

На тело m₂ действуют только сила тяжести m₂g и сила натяжения Т₂ нити:

m₂a₂ = m₂g + T_{2. (2)}

Вводя оси координат и заменяя векторные уравнения (1) и (2) скалярными равенствами, получим систему уравнений, решение которой позволит определить направление ускорения а_{1. Поскольку тела не имели начальной скорости, мгновенная скорость каждого из тел совпадает по направлению с его ускорением, следовательно, направление силы трения, действующей на тело m1 , будет известно. После этого можно решать задачу уже с учетом силы трения. При этом в уравнение (1) надо ввести в правую часть силу трения, уравнение (2), очевидно, не изменится. При рассмотрении условий равновесия следует повторить все рассуждения, учитывая, что в этом случае}

a_{1 = a2=0 (3)}

Решение. Для замены векторных уравнений (1) и (2) скалярными введем для описания движения тела m₁ оси Х и У, тела m₂ - ось з (рис. 13). Учитывая, что вследствие невесомости нити и блока, Т₁ = Т₂, получаем:

m₁a_{1 x}= m₁gsinб--T, m₂a_2з = T - m₂g , a_{1 x} = a_2з (4)

После совместного решения уравнений (4) получаем

Проекция вектора а на ось Х положительна, это значит, что тело m₁ движется вниз по наклонной плоскости, следовательно, сила трения направлена вверх по наклонной плоскости.
Можно, не возвращаясь к векторным уравнениям, ввести силу трения в первое из уравнений (4). При этом следует учесть, что

a_{1 x} = a_2з= a, f_TP=-f_TPx= - kN.

Тогда

m₁a= m₁gsinб--T-kN, m₂a = T - m₂g.

Силу нормальной реакции N найдем из уравнения (1), записанного в скалярном виде для проекций на ось Y:

a_1y = 0, 0 = N - m₁gcosб,

откуда

N = m₁gcosб.

Окончательно

(5)

Совместное решение системы (5) дает

Условия равновесия, соответствующие равенству нулю результирующей силы, действующей на каждое тело, зависят, очевидно, от наличия силы трения и ее направления.
Если трения нет, то, как следует из решения системы (4),

В условиях равновесия a_{1 x} =0 и т₂ = т₂^* = т₁ sinб = 3 кг. Если т₂ < т₂^* , то a_{1 x} > 0--тело т₁ движется вниз по наклонной плоскости; если m₂> т₂^* , то a_{1 x} < 0--тело т₁ движется вверх по наклонной плоскости.
В условиях равновесия сила трения является силой трения покоя и ее направление противоположно направлению возможного движения тела т₁.
В первом случае (т₂ < т₂^*) сила трения направлена вверх по наклонной плоскости и систему (4) с учетом того, что a_{1 x} = a_2з=0, можно переписать в виде

0= m₁gsinб - T -f_TP, 0 = T-m₂g, (6)

откуда

m₂= m₁sinб - f_TP/g. (7)

Во втором случае (m₂> т₂^* т) сила трения направлена вниз по наклонной плоскости и уравнения (6) примут вид

0= m₁sinб - T + f_TP, 0 = T - m₂g, (8)

откуда

m₂= m₁sinб + f_TP/g.

В обоих случаях сила трения покоя f_TP ? kN = km₁gcosб. С учетом этого неравенства выражения (7) и (8) примут вид

Легко видеть, что первое неравенство имеет смысл только когда sinб>kcosб. Оба неравенства не противоречат друг другу, и равновесие имеет место при 2,6 кг ?m₂ ?3,4 кг.

Предельным значениям массы т₂ соответствует наибольшая сила трения покоя

(f _{тр.макс} = kN). Если т₂ =2,6 кг или m₂=3,4 кг, то при малейшем толчке (в первом случае--вниз, во втором--вверх) начнется движение системы. В обоих случаях движение будет равномерным.

Задача решена аналитическим методом, её описание содержит дополнительный материал, который лишь на первый взгляд делает решение излишне громоздким. На самом деле это хорошая иллюстрация методологии физики, как науки, при рассмотрении любой физической ситуации. Пользуясь такими пояснениями можно существенно повысить точность и обоснованность ответа, углубить уровень усвоения теоретического материала и приобрести навыки решения задач повышенной сложности.

3. Запись условия задачи следует завершать после её анализа

Как видно из приведённых примеров, авторы пособий по решению задач по разному подходят к рассматриваемой проблеме. Так например, в предисловии цитированного выше решебника В.Б.Лабковского выделены пять составных частей (этапов) решения задач, перечень которых нам представляется не только не идеальным, но во многом ошибочным.

Первым этапом автор считает запись условия. Однако следует помнить, что с чтением условия начинается процесс понимания содержания задачи. А понимание невозможно без анализа физической сути, скрытой в литературном сюжете. С момента ознакомления, с самых первых слов текста задачи непроизвольно, мысленно в ней выделяются физические явления, физические параметры и величины. Уже на этом этапе память настраивается на поиск аналогов и алгоритмов. Пренебрегать этим свойством нашего мышления на этапе восприятия задачи нельзя. Нередко к концу чтения задачи её ответ уже известен. А это возможно только в том случае, если процесс решения шёл одновременно с ознакомлением с её условием. Поэтому запись условия задачи по существу отражает не исходный, а переработанный - адаптированный и трансформированный текст задачи. И чтобы не допустить ошибок «этапу записи условия» должен предшествовать детальный анализ сюжета с точки зрения физики, который завершается представлением абстрактной модели физического сюжета задачи. Отсутствие в решебниках специально выделенного этапа анализа физического сюжета задачи (как и в реальной практике на уроке) следует отнести к существенным методическим ошибкам. Вместо обучения в этом случае производится «натаскивание», в основу которого положен принцип: «знай все формулы и научись ими манипулировать».

Второй этап автором обозначен как «Составление и решение уравнений». Следует отметить, что и составлению уравнений или их систем должен предшествовать анализ физической ситуации, из которого должны вытекать как сами уравнения, так и обоснования их применимости в условиях данной задачи. К сожалению, в этом пособии анализ отсутствует, а если и имеется, то никак не выделяется в тексте. Тем самым ослаблена одна из важнейших функций обучения - ознакомление с методологией физики, как точной и доказательной науки. Именно анализ ситуации приводит к необходимости вводить какие-либо ограничения и условности, текст задачи перерабатывается, подводится под идеализированные понятия и законы. Учащимся должна быть ясна вся эта «кухня», они должны производить эти действия осознанно, тогда они могут усвоить общие, а не частные подходы к составлению планов решения задач.

4. Проверка ответа - это один из важнейших этапов решения задачи

Нельзя считать удачным третий этап, названный «Проверкой единиц физических величин». Основание для такого заключения - малый удельный вес этого действия в общем процессе решения задачи. По сути, это проверка конечной формулы методом размерности входящих в неё величин. Сам автор довольно редко использует этот приём.

Далее идёт этап «Получение числового результата», представляющий элементарные математические действия. Наше отношение к объёму и качеству математических действий, сопутствующих решению физических задач, мы показали выше.

И завершается решение задачи этапом «Запись ответа». Автор осознаёт важность этого этапа, в качественных и в ряде вычислительных задач он приводит довольно подробный анализ и комментарий полученного результата. Но в качестве иллюстрации значимости записи ответа приводит пример, досадная погрешность которого часто встречается в учительской практике. Поэтому считаем необходимым и целесообразным его рассмотрение.

Задача 4. (Л. с.7) «Пуля, начальная скорость которой 600м/с, движется к цели с отрицательным ускорением 500м/c². Через сколько времени она поразит цель, отстоящую от неё на расстоянии 300 м?».

При её решении получено два ответа: +0,71 и +1,69 с. Какой из двух ответов следует выбрать, как единственный верный? Автор решебника предлагает проверить следующим способом - он определяет время, по истечении которого скорость пули станет равной нулю t=v₀/a =1,2c. Откуда следует, что верным является ответ 0,71 с.

Ответ правильный, нет замечаний и к данному варианту проверки ответа. Но есть существенное замечание к глубине объяснения полученных результатов. Оно состоит в том, что учащимся не дано никакого объяснения по поводу второго ответа. Это можно понимать как неявное утверждение, что он неверен. У учащихся формируется ложное представление, что даже правильное математическое описание в виде уравнений или формул, в принципе может дать неверный ответ. Но уравнение живёт самостоятельной жизнью, в нём для пули нет препятствия в виде цели, с точки зрения уравнения она движется «вечно». Следовало бы разъяснить, что с момента остановки (1,2 с) пуля, движется с прежним по величине и направлению ускорением, но теперь уже к исходной точке выстрела. Через 1,69 с после выстрела она вновь оказывается на расстоянии 300 м от места выстрела и продолжает дальнейшее движение.

Детальный анализ полученных ответов развивает альтернативное мышление и закрепляет аналитические навыки, открывает особенности математики, как инструмента физики. Можно пожелать, чтобы такое требовательное отношение к ответу стало нормой.

При обучении путём решения учебных задач важен не столько сам ответ, сколько процесс его получения. Вместе с тем процедуру представления и оформления ответа можно наделить дополнительными, обучающими и развивающими функциями. Поэтому, по нашему мнению ответ, как и анализ условия, следует выделить в самостоятельный и обязательный этап процедуры решения задачи. Таким путем можно добиться существенного повышения уровня усвоения знаний. В качестве оснований для этого утверждения можно привести следующие соображения.

1. Когда задача уже решена, анализ хода ее решения предполагает беглый просмотр всех тех действий, в результате которых был получен ответ. Непременно придется вспомнить базис и задание задачи, пройти по пути поиска аналога, повторить процедуру перекодировки условия, и т.д. Как и всякое повторение, эта процедура способствует улучшению усвоения учебного материала. Неминуемая в связи с этим дополнительная трата времени невелика, потому что «по свежим следам» условие и решение задачи всплывают в памяти в компактном, хорошо обработанном виде.

2. Когда ответ задачи получен, и она становится совершенно понятной, тогда пересказ ее решения способен доставить удовольствие. Вполне объяснимо возникающее в этот момент стремление придать решению лаконичную и логически безупречную форму. А это требует проведения объемной и глубокой аналитической работы по отбору наиболее существенных компонентов базиса и рациональных действий в ее решении. Все остальные признаки и действия на этот момент отбрасываются как лишние, несущественные, ошибочные. Такие действия способствуют систематизации и обобщению знаний по теме, а также формируют навыки и привычку к аналитическому стилю мышления.

3. В ходе работы над ответом, путем выделения существенных признаков и применения более рациональных действий формируется укрупненный дидактический блок, синтезированная схема (конструкция) задачи. Можно предположить, что именно такие обобщенные блоки закладываются в информационный фонд памяти, что облегчает поиск прецедентов и алгоритмов и все иные действия по решению задач.

4. Все операции, сопутствующие подготовке ответа, производятся вначале под руководством педагога, а впоследствии выполняются учащимися самостоятельно и становятся (или - увы! - не становятся) составной частью (программой) их аналитического и альтернативного мышления при решении не только учебных, но и любых иных задач.

5. Если в ходе решения условие задачи подверглось перекодированию и конкретный сюжет был заменен абстрактной моделью, то проверка правильности ответа приобретает особую актуальность. В этом случае необходимо проделать обратную процедуру - от абстрактной модельной ситуации, путем решения которой был получен ответ, перейти к исходному сюжету. Если при этом в модельном варианте не выявлены существенные отступления и нарушения исходных условий, то решение выполнено правильно. Ниже мы покажем, что формулировка ответа в этом случае обрастает рядом дополнительных условных суждений и допущений.

Известны четыре способа проверки правильности ответа задачи. Один из них основан на использовании жизненного и учебного опыта - метод «здравого смысла», второй - на проверке наименований физических величин (метод размерностей), третий на законах формальной логики, а четвертый предполагает проведение контрольного эксперимента.

В решебниках можно ожидать применения всех этих методов, однако в рассмотренных нами применяется только проверка размерностей.

Покажем на одном из примеров дидактические возможности логического метода проверки. Суть его состоит в следующем. Формулу, представляющую ответ задачи в общем виде, подвергают анализу - оценивают функциональное влияние каждой из входящих в неё физической величины на конечный ответ. Делают это путём сопоставления с выводами, следующими из жизненного опыта, частных законов, надёжно известных соотношений и иных представлений.

Задача 5. В длинном цилиндрическом сосуде под поршнем находится небольшое количество воды со снегом при нормальном давлении. Масса льда m, температура 0^оС, давление насыщенного пара при 0^оС равно р_о, удельная теплота плавления льда , удельная теплота парообразования воды r. На сколько нужно изменить объём пространства перемещением поршня, чтобы весь лёд растаял? Какую работу при этом придётся совершить?

Ответы:

V = mRT/р_оr; A = mRT/r, где - молярная масса воды, T =273 К.

Анализ и решение задачи мы не приводим, рассмотрим лишь в сжатом виде процессы, протекающие в системе и приводящие к плавлению льда.

При уменьшении объёма пространства под поршнем динамическое равновесие между процессами испарения и конденсации нарушается. Избыток пара конденсируется, этот конденсат выделяет теплоту и плавит лёд. Для плавления всего льда нужно m теплоты. Такое количество теплоты отдаст некоторая масса пара m при конденсации: Q=m r. Такая масса пара в исходном состоянии (при 0^о С) должна занимать объём V₀: р₀V₀ = mRT/ . Отсюда имеем A=р₀V = р₀V₀ = mRT/; Но, при Т = сonst = 0^o , А = Q = mr = m, откуда m = m/r, и окончательно имеем А= mRT/r. V = mRT/rр₀.

Процедура логической проверки ответа

1. Чем больше мас ...........