Знаходження похідної функції - курс лекций

ТЕМА УРОКУ: Похідні елементарних функцій

МЕТА УРОКУ: формування знань учнів про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником, тригонометричних функцій.

І Перевірка домашнього завдання

1. Три учні відтворюють розвязування вправ № 1 (1,2), 2.

1) ==

2)

Рівняння шуканої дотичної у - у₀ =. Оскільки х₀ = 1, у = х², то і

Отже, у - 1 = 2 (х -1) або у = 2х - 1.

2. Фронтальна бесіда за запитаннями №№ 11 - 17 із Запитання і завдання до розділу VII.

II. Сприймання і усвідомлення знань про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником

На попередньому уроці ми довели, що похідна лінійної функції у = дорівнює , тобто .

Якщо покласти , де С - довільна постійна, то одержимо, що тобто похідна постійної функції дорівнює 0.

Якщо у формулі покласти, то одержимо

Нам уже відомо, що . А як знайти похідну функції у = х⁵, у = х²⁰ тощо? Розглянемо функцію у= хⁿ, де n - .

Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х₀ і надамо йому приросту , тоді:

1)

2)

(Скориставшись формулою

3)

Звідси

Розглянемо функцію у = х^n-1, де .

Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х₀ і надамо йому приросту , тоді

1)

2)

3) =

Отже, , де .

Таким чином виконується рівність: .

Виконання вправ

1. Знайдіть похідну функції:

а) у = х⁶; б) у = х⁸; в) у = х²; г) .

Відповідь: а) 6х⁵; б) 8х⁷; в) 7х⁶; г) 6х⁵.

2. Знайдіть похідні функцій:

а) у = х^-10; б) у = х²; в) ; г).

Відповідь: а) -10х^-11; б) -3х^-4; в) -6х^-7; г) -6х^-7.

ІІІ. Сприймання і усвідомлення знань про похідну тригонометричних функцій

Знайдемо похідну функції у=. Зафіксуємо х₀ і надамо аргументу приросту , тоді:

1)

2)

3)

.

Отже

Аналогічно можна довести, що

Знайдемо похідну функції .

Зафіксуємо х₀ і надамо аргументу приросту , тоді:

.

.

Отже,

Аналогічно можна довести, що

Виконання вправ № 1 (3), 5 із підручника.

VI. Підведення підсумків уроку

Провести підведення підсумків уроку з використанням таблиці 4 похідних.

Таблиця

Таблиця похідних

V. Домашнє завдання

Розділ VІІ § 3. запитання і завдання для повторення розділу VІІ № 19 - 22. вправа №4 (2, 4).

ТЕМА УРОКУ: Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій

МЕТА УРОКУ: Вивчення теореми про похідні суми, добутку і частки функцій, формування умінь учнів у знаходження похідних.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Усне розвязування вправ.

1) Знайдіть похідні функцій

а) у - х¹⁰; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) 10х⁹; б) -9х^-10; в) -4х^-5;ё г) 3х².

2) Знайдіть похідні функцій:

а) в точці ; б) в точці ;

в) в точці ; г) в точці .

Відповідь: а) 0; б) ; в) 4; г) -1.

2. Відповісти на запитання, що виникли у учнів під час виконання домашніх вправ.

ІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну суми функції

Теорема: Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхня сума диференційована в цій точці і

або коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних.

Доведення

Розглянемо функцію у = f(x) + g(x).

Зафіксуємо х₀ і надамо аргументу приросту . Тоді

,

.

Отже, .

Наслідки

а) Похідна різниці дорівнює різниці похідних.

Нехай у(х) = f(x) - g(x), тоді f(x) = у(х) + g(x) і , звідси.

б) Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих фукцій, тобто

.

Приклад. Знайдіть похідну функцій

а) ;

б) ;

в) .

Розвязання а) ;

б) .

в).

Відповідь: а) ; б) в) =.

Виконання вправ

1. Знайдіть похідні функцій:

а) у = х³ + х - х⁴; б) ;

в) ; г) .

Відповідь: а); б); в) ;

г) .

2. Знайдіть значення похідної функції f(x) в точці х₀:

а) ;

б) ;

в) .

Відповідь: а) 1; б) ; в)-1.

3. При яких значеннях х значення похідної функції f(x) дорівнює 0:

а); б) ; в) .

Відповідь: а) ; б) ; в) .

ІІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну добутку

Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхній добуток також - диференційована функція в цій точці і , або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції

Доведення. Розглянемо функцію . Зафіксуємо х₀ і надамо аргументу приросту , тоді

1)

Оскільки , , то

.

2)

.

Отже, .

Наслідки

а) Постійний множник можна винести за знак похідної: .

Дійсно,.

б) Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:

.

Приклад. Знайдіть похідні функцій:

а) ;

б) ;

в) .

Розвязування

а) ;

б)

;

в)

.

Виконання вправ.

1. Знайдіть похідну функцій:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Відповідь: а) 6х-5; б) ;

в) ; г) .

2. Знайдіть похідні функцій:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Відповідь: а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Знайдіть похідні функцій:

а) ; б) .

Відповідь: а) ; б) .

IV. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну частки функцій

Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х і g(x), то функція диференційована в цій точці і .

Доведення

Формулу похідної частки можна вивести, скориставшись означенням похідної. Проте це зробити можна простіше.

Нехай , тоді f(x)=у(х). Знайдемо похідну функції f(x), скориставшись теоремою про похідну добутку, . Виразимо з цієї формули

і підставимо замість у(х) значення , тоді будемо мати:

.

Отже, .

Приклад: Знайдіть похідні функцій

а) ; б) .

Розвязання

а) .

б) .

Виконання вправ

1. Знайдіть похідні функцій:

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Знайдіть похідні функцій:

а) ; б) ; в) ; г)

Відповідь: а) ; б) ;

в) ; г) .

V. Домашнє завдання

Розділ VII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 23 - 27. вправа № 10 (1 -5, 7 - 8).

ТЕМА УРОКУ: Похідна складеної функції

Мета уроку: Формування поняття про похідну складеної функції, знань учнів про похідну складеної функції, умінь знаходити похідну складеної функції.

І. Перевірка домашнього завдання

1) ;

2)

;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

2. Самостійна робота.

Варіант 1.

1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргументу х₀:

а) , х₀=-1. (2 бали)

б) . (2 бали)

2. Знайдіть похідну функцій:

а) . (2 бали)

б) . (2 бали)

в) . 42 бали)

Варіант 2.

1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргумента х₀:

а) , х₀=-1. (2 бали)

б) . (2 бали)

2. Знайдіть похідну функцій:

а) . (2 бали)

б) . (2 бали)

в) . 42 бали)

Відповідь: В-1. 1. а) ; б) -1

2. а) ; б) ; в)

В-2. 1. а) ; б) 1

2. а) ; б) ; в) .

ІІ. Сприймання і усвідомлення поняття складеної функції та її похідної

Розглянемо приклад.

Приклад 1. Нехай треба обчислити по заданому значенню х значення функції у, яка задана формулою .

Для цього спочатку треба обчислити за даним значенням х значення u=, а потім за значенням u обчислити у=.

Отже, функція g ставить у відповідність числу х число u, а функція f - числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функції g і f, і пишуть .

Функцію g(х) називають внутрішньою функцією, або проміжною змінною, функцію f(u) - зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції в довільній точці х, спочатку обчислюють значення u внутрішньої функції g, а потім f(u).

Приклад 2. Розглянемо функцію . Вона є складною із функцій , де - внутрішня функція, - зовнішня функція.

Приклад 3. Запишіть складні функції і , якщо

Розвязання

Виконання вправ.

1. Задайте формулою елементарні функції і , із яких побудована складна функція :

а) б)

в) г)

Відповіді: а)

б) ;

в)

г) .

2. Дано функції: . Побудуйте функції:

а) ; в) ; в) ;

г) ; в) ; є) .

Відповідь: а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) є)

У складній функції присутня проміжна змінна . Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники:

- похідна функції у по аргументі х;

- похідна функції у по аргументі u;

- похідна функції u по аргументі х;

Теорема. Похідна складеної функції знаходиться за формулою , де , або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.

Доведення

Будемо вважати, що функція має похідну в точці х₀, а функція має похідну в точці u₀=, тобто існують границі , і .

Нехай, аргументу х₀ надано приросту , тоді змінна u набуде приросту . Поскільки одержала приріст , то функція у одержить також приріст . Приріст зумовив виникнення приросту і .

Подамо . Перейдемо до границі при (при цьому ).

або .

Приклад 1. Знайдіть похідну функції у = (3х³-1)⁵.

Розвязання

у = (3х³-1)⁵ - складена функція , де u =3х³-1, тоді , .

При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обовязковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u⁵ на похідну від функції 3х³-1:

.

Приклад 2.Знайдіть похідні функцій:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Розвязання

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Виконання вправ.

1. знайдіть похідні функцій:

а) у = (3х+2)⁵⁰; б) (6-7х)¹⁰;

в) ; г) .

Відповідь: а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Знайдіть похідні функцій:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Відповідь: а) ; б) ;

в) ; г) .

ІІІ. Підведення підсумків уроку

При підведенні підсумків уроку можна скористатись таблицею.

Таблиця диференціювання

IV. Домашнє завдання

Розділ VII § 4. запитання і завдання для повторення до розділу VII № 23-28. вправа № 10 (6, 10, 14, 22).

ТЕМА УРОКУ: Похідна показникової, логарифмічної та степеневої функцій

Мета уроку: Формування знань учнів про похідну показникової, логарифмічної та степеневої функції(з довільним дійсним показником), умінь учнів в знаходженні похідних функцій.

І. Перевірка домашнього завдання

1.Перевірити правильність виконання домашніх вправ за записами, зробленими на дошці.

6) ;

10) ;

11) ;

22) .

2. Виконання усних вправ.

Знайдіть похідні функцій, які подано в таблиці.

Таблиця

ІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну показникової функції

Перш ніж знаходити похідну показниковїх функції, зробимо два важливих зауваження. Графік функції у=а^х проходить через точку (0; 1). Нехай - величина кута , утвореного дотичною до графіка функції у = а^х в точці (0; 1)з додатним напрямом осі абсцис. Величина цього кута залежить від значення основи а. Наприклад, обчислено, що при а = 2 величина кута приблизно дорівнює 34⁰(рис.29), а при а = 2, =47⁰.

у у = е^х якщо основа а показникової функції у = а^х зростає від 2 до 3, то величина кута зростає і приймає значення від 34⁰ до 47⁰. Отже, існує таке значення , при якому дотична, проведена до графіка функції у = а^х в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі ОХ кут 45⁰ (рис.31). Таке значення прийнято позначати буквою е, е - число ірраціональне, е = 2,718281828459... 0

Таким чином, дотична до графіка функції у = е^х в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі абсцис, який дорівнює 45⁰.

У відповідності з геометричним змістом похідної даний висновок означає, що значення похідної функції в точці х₀ дорівнює =1. Отже, .

Знайдемо тепер формулу похідної функції .

Нехай аргумент х₀ одержав приріст , тоді:

1)

2)

3) .

Таким чином, похідна функції е^х дорівнює самій функції:

Знайдемо похідну функції , скориставшись основною логарифмічною тотожністю та правилом знаходження похідної складеної функції:

.

Отже,

Похідна показникової функції дорівнює добутку цієї функції на натуральний логарифм її основи.

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

а) у = 5^х; б) у = е^3-2х; в) ; г) .

Розвязання

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Виконання вправ.

№ 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12), №2 (20, 22, 24, 26, 28, 30) із підручника (розділ Х).

ІІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну логарифмічної функції

Розглянемо функцію . За основною логарифмічною тотожністю: для всіх додатних х.

Диференціюючи обидві частини цієї рівності, одержимо: , або .

Звідси .

Отже,

Знайдемо похідну функції . Так як , то

.

Отже,

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

а) ; б) ;

в) ; г) .

а) ;

б) ;

в) ;

г)

=.

Виконання вправ.

№ 2 (14, 16, 18, 32, 34, 36, 38, 40, 42), із підручника (розділ Х).

IV. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну степеневої функції , де

Ми довели, що для .

Розглянемо функцію , де .

Знайдемо похідну цієї функції:

.

Отже, для всіх .

ТЕМА УРОКУ: Розвязування вправ

Мета уроку: Формування умінь учнів знаходити похідні функцій.

І. Перевірка домашнього завдання

1 перевірити правильність виконання домашніх вправ шляхом порівняння відповідей.

№ 2. 3) -е^-х; 5) ; 7) ; 9) ; 11)

13) ; 15) ; 17) .

№ 8. 1) 100х⁹⁹; 3) ; 5) ; 7) -20х¹⁹; 9) ;

11) .

2. Усне розвязування вправ.

Знайдіть похідні функцій, поданих в таблиці.

ІІ. Формування умінь знаходити похідні функцій

1) Виконання вправ № 10 (12; 11; 13; 17; 19) розділу VІІ підручника.

2) Виконання вправ № 2 (23; 24; 31; 34; 35; 36) розділу Х підручника.

3) Знайдіть похідну функції та обчисліть її значення, якщо .

.

.

Відповідь: 4.

4) Тіло рухається за законом .

Знайдіть швидкість точки через 2 секунди після початку руху. (Відстань вимірюється в метрах).

Розвязання

;

.

Відповідь: .

ІІІ. Домашнє завдання

Підготуватися до контрольної роботи. Вправи ; 10 (15; 16; 20; 25) розділу VІІ; № 2 (22; 26; 38; 42), 8 (14; 18) розділу Х.

ТЕМА УРОКУ: Тематична контрольна робота № 1

Мета уроку: Перевірити навчальні досягнення учнів з теми „Границя, неперервність та похідна функцій”.

Варіант 1

1. Знайдіть похідну функції:

а) . (2 бали)

б) . (2 бали)

в) . (2 бали)

г) . (2 бали)

2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо . (2 бали)

3. Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах). (2бали)

Варіант 2

1. Знайдіть похідну функції:

а) . (2 бали)

б) . (2 бали)

в) . (2 бали)

г) . (2 бали)

2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо . (2 бали)

3. Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах). (2бали)

Варіант 3

1. Знайдіть похідну функції:

а) . (2 бали)

б) . (2 бали)

в) . (2 бали)

г) . (2 бали)

2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо . (2 бали)

3. Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=5 с (s вимірюється в метрах). (2бали)

Варіант 4

1. Знайдіть похідну функції:

а) . (2 бали)

б) . (2 бали)

в) . (2 бали)

г) . (2 бали)

2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо . (2 бали)

3. обертання тіла навколо осі здійснюється за законом . Знайдіть кутову швидкість точки при t=4 с ( вимірюється в радіанах). (2бали)

Відповідь: В-1. 1. а) ; б) ;

в) ,; г) .

2. , .

3. 10

В-2 1. а) ; б) ;

в) ,; г) .

2. , .

3. 9

В-3. 1. а) ; б) ;

в) ,; г) .

2. , .

3. 35

В-4. 1. а) ; б) ;

в) ,; г) .

2. , .

3. 20